Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 1

Räkneregler för vektorer

by Christian Abdelmassih

Addition och subtraktion för vektorer fungerar likt skalärer men för de andra två räknesätten finns väldigt stora skillnader.


Det finns olika sorters multiplikation och men bara en division. De olika multiplikationerna beror på vad som multipliceras och påverkar utresultatet av multiplikationen. Vi har:

  • Vanlig multiplikation:

  • Skalärprodukt:

  • Kryssprodukt:

  • Matrismultiplikation


Då vi ännu inte har behandlat matriser ännu kommer den typen av multiplikation inte tas upp i denna lektion.

Multiplikation mellan skalär och vektor


Den vanligaste multiplikationen som förekommer är den mellan skalärer och vektorer. Om och är en skalär så kommer produkten av dessa vara:



Denna typ av multiplikation påverkar enbart vektorns längd som skalas upp eller ned gånger.

Övning

Vi har vektorn beräkna om

Lösning

Vi får



Skalärprodukt


Skalärprodukten beräknar vinkelförhållandet mellan två vektorer och betecknas på följande sätt och läses "u skalärt v". Resultatet av skalärprodukten är en skalär. Vi har vektorerna och så kommer deras skalärprodukt ges av:





Då detta har med vinklarna att göra finns det ett antal saker att ha i åtanke om resultatet:

  • Om är vektorerna vinkelräta mot varann

  • Om bildar vektorerna en trubbig vinkel

  • Om bildar vektorerna en spetsig vinkel

Övning

a) Beräkna skalärprodukten av och .


b) Bestäm om och är ortogonala (vinkelräta).

Lösning

a) Vi utför skalärprodukten



b) vet vi att vektorerna inte är vinkelräta mot varann.

Kryssprodukt


Denna form av multiplikation beräknar den vektorn som är vinkelrät mot de två vektorer som multipliceras genom kryssprodukten. Säg att vi har två vektorer, och då kommer kryssprodukten av dessa betecknas där är kryssprodukten och läses "a kryss b"


Den gröna vektorn är kryssprodukten av de två röda


För att räkna ut kryssprodukten används formeln







Det finns även ett specialfall: Om och är parallella kommer


Kryssprodukten är dock bara definierad i .

Övning

Vi har två vektorer givna, och .


a) Beräkna deras kryssprodukt,


b) Avgör om vektorerna är parallella.

Lösning

a) Vi beräknar kryssprodukten:



b) Vektorerna och är inte är parallella då .

Normen

Normen av en vektor betecknas och motsvarar vektorns längd. Om så ges dess längd så att



Övning

Beräkna normen till vektorn som går från till .

Lösning

Först skapar vi vekorn där



Sedan applicerar vi formeln för att få vektorns längd:



som ger oss ,