Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 16

Den stora begreppsamlingen

by Christian Abdelmassih

Denna lektion kan användas dels som ett lexikon för ord och begrepp men också som en checklist inför tentan. Varje term beskrivs kortfattat och finns för vidare läsning i respektive lektion. Nedan följer de vanligaste och viktigaste begreppen i Linjär Algebra. Lycka till på tentan!

Vektor

Synonym: Kordinatvektor


En vektor beskrivs av en riktning (och en längd), inte en position som en punkt gör. An denna anledning kan vektorer förflyttas så de inte är bundna vid en position. Vektorer skrivs med gemener(små bokstäver) med en pil över enligt:


Skalär

Alla reella tal är skalärer, detta vill säga, skalärer är det som finns på den reella tallinjen. Skalärer skrivs med gemener, det vill säga små bokstäver: .


Norm

Synonym: Längd av vektor, Magnitud


Vektorer kan vara olika långa men forfarande ha samma riktning. Normen av en vektor är inte absolutbeloppet av en vektor. Normen ges av:



Matris

En matris kan betraktas som en datahållare, något som håller information. Syftet med att ha matriser är att de är enkla att manipulera för att ge svar på olika problem. Matriser beskrivs genom antalet rader och kolonner den har och namn med versaler, det vill säga, stora bokstäver. Följande matris är en matris:



Dimension

Synonym: dim()Alla vektorrum har en dimension de är bundna vid. Detta motsvarar det lägsta antalet vektorer som krävs för att beskriva rummet. En vektor kommer rummet motsvara en linje. Två motsvarar ett plan och tre ett kubiskt rum.

Rang

Synonym: dim(Im()), dimensionen av bilden


Rangen av en matris är antalet oberoende kolumnvektorer som finns i matrisen eller antalet ledande ettor efter gauss elemination. I själva verket är rangen av en matris dimensionen av bilden som den matrisen ger upphov till vid transformation.


Projektion, perpendikulär & reflektion

Projektionen av en vektor på en annan vektor kan informellt tolkas som skuggan av den första vektorn på en andra. Om vi vill projicera kommer projektionen ges av:



Den perpendikulära vektorn kommer att motsvara avståndsvektorn från skuggan, i normalens riktning, tills den når den första vektorn, i detta fall . Detta kommer ges av:



Avslutningsvis kan även reflektionen av beräknas. Vektor kan i detta fall betraktas som en spegel för de resterande vektorerna. Reflektionen ges av:



Linjär transformation

Synonym: Linjär avbildning,


Transformation kan betraktas som motsvarigheten till skalärfunktioner fast för vektorer genom att utföra transformationen av vektor genom transformationsmatrisen . Resultatet kommer att ge en ny vektor som är en transformation av enligt . Detta ger att hela transformationen enbart definieras av matrisen som då även definierar bilden och kärnan.

Bild

Synonym: Image, kolonnrum, Im()


Bilden för given transformation kam betraktas som transformationens värdemängd där värdemängden inte är definierad i ett intervall på en tallinje utan istället kan vara i form av talplan eller talrum, av denna anledning måste bilden definieras av ett spann av vektorer. Bilden ges även av spannet hos kolumnvektorerna i transformationsmatrisen.


Kärna

Synonym: Kernel, Nollrum, Nullspace, Ker()


Kärnan för en transformation är en mängd där alla vektorer innanför mängden kommer efter transformation alltid att transformeras till nollvektor. Säg att tillhör kärnan, då måste enligt definition. Kärnan ges därför genom att radreduktion samt lösning av systemet som transformationsmatrisen innehåller.

Underrum

Synonym: Delrum


För att en delmängd ska vara ett delrum måste tre kriterier uppfyllas samtidigt:

  1. Nollvektorn måste vara innehållen i delmängden.

  2. Den resulterande vektorn från additionen av två vektorer som båda innehålls i delmängden måste fortfarande vara innehållen a

Span

Det som skiljer med är att i det förstnämnda sker referensen specifikt till och , inga andra vektorer, medan refererar till , och alla linjära kombinationer som de ger upphov till. Det kan därför vara passande (men något informellt) att där och är reella tal. Av denna anledning används alltid för att beskriva underrum medan används för att beskriva baser.

Bas

En bas är i själva verket ett koordinatsystem där koordinataxlarna är vektorerna som utgör basen. Den vanligaste basen ges av det kartesiska koordinatsystemet som har enhetsvektorerna:



Det går att skapa nya baser och gå mellan dessa baser genom ett basbyte. Ett kriterium för baser är att alla dess vektorer måste vara linjärt oberoende. En bas kan även vara ortogonal och ortonormal. För en ortogonal bas gäller att alla basens vektorer är vinkelräta mot varann. För en ortonormal bas gäller dessutom att de är normaliserade, det vill säga, har länden .


Basbyte

Att utföra ett basbyte innebär att beskriva en given vektor i en annan bas. Detta görs med basbytesmatriser där kolumnerna i matrisen är vektorerna som utgör basen. Viktigt är att notera från vilken till vilken bas basbytesmatrisen går. Basbyten är den svårare delen av kursen Linjär Algebra, för vidare förståelse se lektionen Basbyte.

Determinant

Beräkning av determinanten ger information kring huruvida kolumnerna i matrisen är linjärt beroende. Detta kan utnyttjas för att se om ett system har en enskild lösning eller ingen/oändligt med lösningar. Om har en enskild lösning och går därmed att invertera. Om har oändligt/ingen lösning och kan därför inte ha en inversmatris.


Area av parallelogram och triangel

Arean av ett parallellogram kan beräknas på olika sätt, en för och en för :


I ges arean av absolutbeloppet(en area kan inte vara negativ) av en determinant med två av paralellogrammets vektorer, och som utgår från samma hörn i determinatens rader:



I ges arean genom att ta normen av kryssprodukten av två vektorer som går från samma hörn i paralellogrammet kan man få arean enligt:



Volym av parallelepiped


I ges volymen av en parallelepiped av absolutbeloppet en determinant med tre av paralellogrammets vektorer som utgår från samma hörn i determinatens rader enligt:



Egenvärde & Egenvektorer

Om vi har en given linjär transformation för en given vektor då har vi transformationen . Om även den resulterande vektorn är en multipel av vektorn som transformationen verkar på enligt där är en skalär. Då gäller att är ett egenvärde till egenvektorn .


Detta innebär att egenvektorer efter transformationen kommer enbart att förändras i längd, inte i riktning. Egenvärdena för en transformationsmatris ges av ekvationen:



där är identitetsmatrisen. Egenvektorerna ges av:



som kräver att egenvärdena redan är givna och appliceras en gång per egenvärde.


Algebraisk multiplicitet & Geometrisk multiplicitet

Vid beräkning av egenvärden och lösning av karaktäristisk ekvation kan det uppstå dubbelrötter, till exempel: , där det är dubbelrot då . Då gäller att egenvärdet har den algebraiska multipliciteten medan har den algebraiska multipliciteten .


Den geometriska multipliciteten definieras av antalet vektorer som varje enskilt egenvärde ger upphov till och motsvarar dimensionen på egenrummet.


Egenrum

Egenrummet spänns upp av egenvektorer med samma egenvärde och ger upphov till ett spann där allt som innehålls av det spannet också är egenvektorer med samma egenvärde. Detta innebär att det kan finnas flera egenrum för en linjär transformation, en för varje egenvärde.


Diagonalisering

Att diagonalisera en matris innebär att ta reda på matrisens motsvarande diagonalmatris genom att ta reda på matrisens egenvärden och egenvektorer. När detta är gjort är det bara att skapa diagonal- och basbytesmatrisen enligt:



där är egenvärden och är motsvarande egenvektorer.


Gram-Schmidt ortogonalisering

Detta är en metod för att ta fram ortogonala vektorer genom att utgå från icke-ortogonala. Det används främst för att skapa ortogonala och ortonormala baser när man utgår från vanliga baser. För vidare läsning, se lektionen Grahm-Schmidt ortogonalisering