Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 6

Gauss-Jordan elimination

by Christian Abdelmassih

I gymnasiematten fick vi lära oss en metod för att lösa ekvationsystem. Denna metod hette additionsmetoden var i själva verkligheten en förenkling av Gauss elimination. Anledningen till att vi behöver utveckla additionsmetoden till Gauss elimination är att vi tidigare bara haft två ekvationer som bildar ekvationssystemet. Vi ska nu lära oss att lösa ekvationssystem oavsett antalet ekvationer!

Från ekvationssystem till matrissystem

Säg att vi har följande evationssystem.



och att vi vill skriva om denna på matrisform. Då kan vi med enkelhet skriva om detta genom



Varje rad i matrisen motsvarar en ekvation och kolumn i matrisens vänsterled motsvarar koefficienten framför respektive variabel.

Reducerad trappstegsmatris

Den reducerade trappstegsmatrisen är målet med gauss eleminationen. För att nå denna finns det dessutom delmål i form av pivot element.


Om vi har ett element så är ett pivot element om alla tre punkter nedan satisfieras

  • har värdet

  • Alla andra element i samma kolumn som är

  • Alla element till vänster om är (om det finns några).

Den reducerade trappstegsmatrisen har ett karaktäristiskt utseende med två trianglar med nollor längs diagonalen för matrisen i vänsterledet. Om en matris har det maximala antal pivoter är den per automatik i trappstegsform.



I ovanstående reducerade trappstegsmatris är alla element med värdet pivoter. Att veta antalet pivoter kommer vara gynnsamt i kommande lektioner.


Så säg att vi startar med nedanstående ekvationssystem som vi gör om till matrisform



och därefter utför en gausselemination på



och sedan åter igen gör om till ekvationsform



så ser vi att ekvationssystemet nu är mycket mer begripligt. Detta då vi har nått det maximala antalet pivoter som i detta fall är tre.

Gauss Elimination

För att utföra en Gauss elimination måste ekvationssystemet vara uppställt på matrisform. När det är gjort är det tre saker man får göra

  • Byta plats på rader


  • Multiplicera rader med reella tal (förutom noll)


  • Addera rader till varandra med multipel


För att förstå hur det här fungerar i praktiken kan ni följa exemplet nedan:

Exercise

Vi har ekvationssystemet


Ta fram ekvationssystemets lösningsmängd (dvs lös den med Gauss elimination).

Solution

Vi skriver först om ekvationssystemet till en matris. Den här matrisen vill vi nu göra om till en trappstegsmatris!



Det första vi vill göra är att förvandla den första radens första kolumn till en etta! Vi skulle kunna dividera raden med 3, men för att göra det ännu enklare kan vi bara byta plats på den första raden och den sista raden



Efter radbytet får vi den här matrisen. Vi vill nu att det bara ska finns nollor under ettan. Vi börjar med att ändra på den andra raden. För att få den andra radens första kolumn att bli noll kan vi addera "rad 1 gånger -2" till rad 2.





Vi har nu den här matrisen. Men nu vill vi ju också ha en nolla på den tredje radens första kolumn. För att få det kan vi lägga till -3 gånger rad 1 på rad 3.



Nu är första kolumnen helt fixad. Vi koncentrerar oss därför på den andra kolumnen. Pivotelementet 1 är visst redan fixat på den andra kolumnens andra rad, vi behöver alltså bara se till att vi har en nolla under den! För att få det lägger vi till 2 gånger rad 2 på rad 3.



Nu är vi nästan färdiga. Det enda vi behöver göra för att få det sista pivotelementet att bli 1 är att multiplicera den tredje raden med 0,5!



Vi fortsätter på trappstegmatrisen från tidigare. Det första vi vill göra är att fixa nollor ovanför det sista pivotelementet (kolumn 3). Vi börjar med den andra raden. Vi lägger till "-2 gånger rad 3" på rad 2.



Vi får fram den här matrisen. Vi vill nu ha en nolla på den första radens tredje kolumn också. Vi lägger därför till rad 3 gånger -1 på rad 1.



Nu är den tredje kolumnen helt fixad. Vi tittar därför på den andra kolumnen. Det sista steget är att omvandla -2 på den första raden till noll. Detta kan man göra genom att lägga till 2 gånger rad 2 på rad 1.



Nu är vi helt klara! Matrisen har reducerats till max! Lösningen till ekvationssystemet får vi genom att helt enkelt läsa av kolumnen till höger:



Att tolka resultat

Vid Gauss elimination kan olika fenomen uppstå som måste tolkas för att dra rätt slutsats. Anledningen till detta är lösningen till ett ekvationssystem inte nödvändigtvis behöver vara en punkt utan kanske en linje med lösningar eller ett plan. Möjligheten finns även att ekvationssystemet inte ger upphov till någon skärning alls. Nedan är en sammanfattning av saker att hålla ögonen öppna för.


Ingen lösning


Säg att du håller på att Gauss eliminera ett system och får något i denna stil:



Det som är intressant här är just . Detta behöver inte vara ett slarvfel från läsaren sida utan faktiskt ett klassiskt tecken på att systemet inte har någon lösning eftersom de givna ekvationerna inte ger upphov till någon skärning.


En lösning


Precis som i exempeluppgiften går eliminationen ut utan konstigheter och vi får identitetsmatrisen i vänsterledet i stil med



där varje variabel har ett specifikt värde som gör lösningen till en punkt, i detta fall


Flera lösningar


Eliminationen går väl men vi lyckas nu inte få identitetsmatrisen i vänsterledet. Istället har vi något i denna stil



där flera variabler återfinns i samma ekvation trots förenkling. Denna typ av lösning är vanlig och innebär att skärningen inte är en punkt utan en linje, ett plan eller liknande. För att uttrycka lösningen krävs det därför att resultatet omvandlas till parameterform



där vi nu ser att lösningen i detta fall är en linje.