Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 13

Diagonalisering

by Christian Abdelmassih

Diagonalmatris

En diagonalmatris har utseendet att den har noll i alla element förutom diagonalen. Nedan ser hur en diagonalmatris ser ut



där är valfria skalärer.

Diagonalisering

Diagonalisering innebär att vi har en matris och betraktar den som transformationsmatrisen till en linjär avbildning söker vi en motsvarande matris som är en tranformationsmatris fast i en annan valfri bas samtidigt som är en diagonalmatris och följande förhållande är satisfierat



där är en basbytesmatris till basen som transformerar i.


I samband med diagonalisering kommer det alltid finnas ett och som är beroende av egenvektorerna och egenvärdena. Detta ger att dessa matriser kan uttryckas, i fallen som



där är egenvärdena till egenvektorerna respektive som fås från .


Vi söker därmed egenvärdena och egenvektorerna i samband med diagonalisering.

Övning

Diagonalisera matrisen



Lösning

Vi vill diagonalisera A och tar därmed fram dess egenvärden och egenvektorer. Egenvärdena ges av



Vi beräknar därefter egenvektorerna och får







Detta ger oss nu egenvärdena till egenvektorerna respektive.


Genom detta skapar vi basbytesmatrisen och diagonalmatrisen



och tar fram inversmatrisen





Då gäller . Matrisen är därmed diagonaliserad

Matrispotenser

Vad använder man då diagonalisering till? Jo, om man har en matris som man diagonaliserar, kan man enkelt räkna ut dess potenser (, , ...) genom formeln:



Uträkningen av D:s potenser är väldigt enkel eftersom det är en diagonalmatris! Det räcker därför att räkna ut potensen av talen längs dess huvuddiagonal (och slippa krångliga matrismultiplikationer)!

Övning

Beräkna

Lösning

Vi använder diagonaliseringen från förra uppgiften för att beräkna matrispotensen. Vi fick där matriserna som ges av



Vi använder sambandet uttryck med potenser så att vi får



Då en diagonalmatris med potens ges av matrisen med diagonalelementen upphöjda i den potensen får vi:



som ger oss: