Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 9

Determinanten

by Christian Abdelmassih

Vad är en determinant?

Determinanten av en matris är ett tal som kan användas för att se kolumnvektorerna är linjärt beroende eller oberoende. Vad själva talet egentligen motsvarar är inte relevant för denna kurs.


Determinanten för matrisen betecknas eller .

2x2 matriser

För matriser som bara har storleken det väldigt enkelt att räkna ut determinanten, säg att vi har matrisen som har följande utseende



Då kan man med enkelhet få fram värdet på determinanten genom att använda formeln



Exercise

Beräkna determinanden av

Solution

Vi får att

NxN matriser

För att räkna ut determinanten till matris finns det två olika metoder man kan använda för att förenkla beräkningarna. Dessa är

  1. Förenkla genom kofaktorutveckling

  2. Förenkla genom Gauss-Elimination

Förenkling genom Kofaktorutveckling

Säg att vi har en matris vid namn . För att räkna ut determinanten kan vi förenkla genom kofaktorutveckling. Det fungerar så att kommer delas upp i nya mindre determinanter som sedan kommer summeras. Dessa kommer ha en kolumn och rad mindre än den ursprungliga så att de blir determinanter. Antalet determinanter som delas upp i är .


Innan vi kan använda oss av kofaktorutveckling måste vi dessutom välja en kolumn eller rad som vi tänker utveckla längs.Varje ny del-determinant kan antingen vara positiv eller negativ och beror även på valet av kolumn/rad. Det som direkt avgör om den nya del-determinanten är positiv eller negativ är var elementet är placerat för den rad/kolumn som utvecklingen sker längs. En tumregel är att elementet i övre vänstra hörnet alltid ger en positiv del-determinant. Därefter pendlar tecknet mellan positivt och negativt både rad- och kolumnvis. Detta kan illustreras som



För att göra saken enklare tar vi ett exempel. Säg att är en matris. Då kan den och dess determinant allmänt uttryckas som:



är en determinant kommer utvecklingen bestå av stycken determinanter.


Säg dessutom att vi väljer att utveckla determinanten längs den första raden, . Då kan kofaktorutvecklingen skrivas som



Kofaktorutveckling och används därför med fördel då determinanter har många nollor. Då kan raden/kolumnen med flest nollor väljas som kommer göra flera av koeficienterna, i detta fall, till noll och reducera antalet determinanter vi vill beräkna dramatiskt!

Övning

Beräkna determinanten till genom förenkling med kofaktorutveckling



Lösning

Vi får att determinanten kan förenklas som



Vi beräknar därefter fram värdet




Förenkling genom Gauss-Elimination

Ett annat, ofta enklare, sätt att förenkla determinanten är att använda sig av klassisk Gauss-Elimination på determinanten. Genom att eftersträva att element har värdet noll kommer vi kunna använda kofaktorutveckling mycket smidigare.


Vid Gauss-Elimination av determinanter finns dock saker att tänka på

  • Man får inte förlänga eller förkorta en rad med en skalär, det får bara ske i samband med addition av en annan rad.

  • Man får byta plats på rader men bara om man multiplicerar hela uttrycket med .

Om man lyckas reducera determinanten till trappstegsform kan hela determinanten beräknas som produkten av diagonalen!

Övning

Beräkna determinanten till genom förenkling med Gauss-Elimination



Lösning

Vi utför Gauss-eliminationen



och fortsätter förenkla så att vi når trappstegsform



Vi har nu nått trappstegsform och kan därför beräkna determinanten som produkten av diagonalen