Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 4

Projektion och reflektion

by Christian Abdelmassih

Projektion

Säg att vi har två vektorer , och att vi vill återskapa i riktningen för . Då kan vi använda projektion!


Om vi projicerar kommer resultatet av projektionen kunna betecknas och kunna betraktas som skuggan av vektor . Detta kan illustreras som


Projektionen av u blir en ny vektor (grön) som är parallel med v


Den nya vektorn blir därmed parallell med den vektor som var målet för projektionen.


Formeln för projektion har utseendet



Notera att i formeln är vektorn som är målet för projektionen viktigare än vektorn som faktiskt projiceras.


Notera även att det är skalärprodukt mellan och , dvs

Övning

Vi har vektorerna



beräkna projektionen av .

Lösning

Projektionen av motsvarar . Detta kommer att ge oss



som avslutningen ger oss projektionen .

Reflektion

Säg återigen att vi har två vektorer och och att vi vill använda som en spegel för . Då kan vi använda reflektion.


Att reflektera längs betecknas och kan illustreras som


Reflektionen av u blir en ny vektor (grön) som är en spegling längs v


där formeln för reflektion ges av



Övning

Vi har vektorerna



beräkna

Lösning

Då vi vet formeln för reflektion, börjar vi med att beräkna projektionen och får projektionen till





och avslutningsvis reflektionen till







Vi har därmed skapat en vektor som är en spegling av längs