Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 7

Linjära Transformationer

by Christian Abdelmassih

Inledning

I gymnasiematten lärde vi oss att hantera funktioner där är ett tal från domänen (definitionsmängden) medan är ett tal från målmängden (co-domain på engelska, kan liknas vid värdemängd).


Detta ger oss ett annat, mera abstrakt vis att beskriva vad en funktion faktiskt är: En funktion är någon som tar värden från en mängd och skapar dess representation i målmängden i enlighet hur är definierad. Funktioner har dock en nackdel: de hanterar enbart skalärer.


Transformationer är motsvarigheten till funktioner i vektoralgebran då de enbart hanterar vektorer. Transformationer finns, likt funktioner, i väldigt många olika slag men då denna kurs heter Linjär Algebra kommer vi bara lära oss hantera Linjära transformationer.

Linjära Transformationer

Ekvationen för den linjära transformationen är där tillhör vår domän och tillhör vår co-domain.


är transformationsmatrisen som är det enda i linjära transformationer som påverkar ut-resultatet . Vi kan därför påstå att är den transformationen av vektorn .


Transformationen beskrivs dessutom med dimensionen av domänen och dimensionen av målmängden. Om en transformation går från till skrivs detta som . Transformationsmatrisen kommer vidare definieras av transformationen av varje enskild basvektor. Om transformationens målmängd är kommer kunna beskrivas som



där och representerar respektive kolumn i matrisen . Basvektorerna i motsvarar:



Dimensionen för domänen måste motsvara antalet transformationer av basvektorerna. Detta ger att om domänen är beskriven i kommer en till basvektor ge upphov till en ytterligare kolumn . Detta används vid ekvationer som kräver uppställning av ett linjäritets-ekvationssystem.


Generellt så kommer det kunna uppstå olika typer av uppgifter som kan komma beroende på vad som är givet i transformationens ekvation .

  1. och givna, tillfrågas. Löses genom matrismultiplikation.

  2. och givna, tillfrågas. Löses genom Gauss elimination.

  3. och givna, tillfrågas. Löses genom linjäritets-ekvationssystem

Lösningarna för dessa olika fall kan enklast förklaras genom exempeluppgifterna nedan.

Viktigt:

Det är matrismultiplikation mellan och i . Finns i lektionen Matriser för vidare läsning.

Vi går nu igenom de tre olika uppgiftstyperna i mera konkreta exempel. Majoriteten av problemen har dessa strukturer:

Uppgiftstyp 1

Givet: Transformationsmatris och in-vektor: .

Efterfrågat: Ut-vekor:


Transformationen ges av transformationsmatrisen



Beräkna transformationen av

Lösning

Vi har både transformationsmatrisen och vår in-vektor, vi använder därför matrismultiplikation för att beräkna transformationen av vår vektor



Vi har därmed att .

Uppgiftstyp 2

Givet: Transformationsmatris och ut-vektor

Efterfrågat: In-vektor:


Vi har transformationen som ges av transformationsmatrisen



Beräkna den vektor som efter transformationen blir

Lösning

Vi skapar en totalmatris med i vänsterledet och i högerledet



därefter Gauss-Eliminerar vi denna till trappstegsform och skriver om resultatet som ett ekvationsystsem.



svaret blir därmed

Uppgiftstyp 3

Givet: in-vektorer och ut-vektorer .

Efterfrågat: Transformationsmatrisen


Vi har att transformationen och följande transformationer som använder sig av :



Beräkna transformationsmatrisen

Lösning

Vi beräknar transformationen genom att dela upp de tre olika transformationerna med basvektorerna



då vi vet att transformationsmatrisen definieras av



Vi beräknar och genom ett ekvationssystem där varje transformation bildar en ekvation var så att den första ekvationen fås genom omskrivning av basvektorer hos den första transformationen





Vi lägger in detta i ekvationssystemet, gör om det till en matris och gauss-eliminerar





Detta ger att transformationsmatrisen blir