Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 0

Skalärer, punkter och vektorer

by Christian Abdelmassih

I början av den här kursen kommer det finnas många begrepp att hålla reda på. Detta används för att särskilja olika egenskaper som vi tidigare inte stött på.


Bortsett från detta skiljer sig denna kurs radikalt från gymnasiematten. Detta gör att väldigt stora delar av kursen omfattar områden som inte har berörts tidigare. Här delas allt in i skalärer, punkter, vektorer och matriser.

Skalärer

De reella tal som vi är vana vid att räkna med kallas för skalärer i denna kurs. Detta är för att skalärer enbart markerar en storhet. Eftersom vi behandlat skalärer sedan vi lärde oss räkna är detta inget nytt.

Punkter

En punkt är något som definieras av sin position genom koordinater (som i sin tur är två eller fler skalärer). Punkter kan skrivas både horisontellt och vertikalt, exempel på en punkt:

Vektorer

En vektor betecknas där är vektorns namn och definieras av sin norm (vektorns längd) och sin riktning. Eftersom vektorer inte definieras av en position är två parallella vektorer med samma längd samma vektor. Exempel på en vektor:



För att kunna skilja mellan punkter och vektorer är det viktigt att läsa sig till sammanhanget där informationen ges.


Förutom detta är även vektorer bundna till en dimension som kan avläsas genom antalet rader vektorn har. Detta ger att är definierad i (xy-planet) medan är definierad i (xyz-rummet). Två vektorer som är definierade för olika dimensioner kan därför inte ritas in i samma koordinatsystem.


Norm


Normen för en vektor betecknas och beräknas genom formeln



Riktning i relation till norm


Säg att vi har vektorerna och , då har båda vektorerna samma riktning men olik längd.

Skillnad mellan punkter och vektorer

Relationen mellan vektor och punkter är olika i olika sammanhang men genom denna kurs kommer använda oss av ett enda påstående: Det behövs två punkter för att skapa en vektor.


Säg att vi har två punkter givna, och samt att vi vill skapa en vektor mellan dessa, då kan vi skapa vektorn från till som kommer betecknas så att



Övning

Vi har punkterna



Skapa en vektor mellan punkterna.

Lösning

Vi skapar vektorn där



Detta ger oss vektorn .

Nollvektorn

Denna vektor har väldigt speciella egenskaper då den saknar längd och vinkelrät mot alla andra vektorer. Av denna anledning är det ganska svårt att rita ut nollvektorn i ett kordinatsystem som gör att nollvektorn förekommer främst i beräkningar.


Nollvektorn skrivs om dimensionen är och om dimensionen är .