Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 12

Egenvärde & Egenvektor

by Christian Abdelmassih

Definition

Vid linjära transformationer finns det ibland vektorer som inte ändrar riktning utan som bara blir längre eller kortare.


Om är en linjär avbildning med avbildningsmatrisen  och vi har en vektor som uppfyller , där är ett tal. Då kommer att vara en egenvektor och vara ett egenvärde till egenvektorn.


Med andra ord betyder det alltså att matrisen bara har förändrat längden av vektorn med faktorn .


Vektorerna förändras bara i längd, inte riktning


För att kunna uttrycka dessa vektorer korrekt är det därmed två saker som måste göras.

  1. Ta reda på alla egenvärden

  2. Ta reda på alla egenvektorerna som varje egenvärde leder till


För att åstadkomma båda sakerna finns det två olika formler vi kommer använda oss av

  1. där är identitetsmatrisen

Vi börjar med att ta reda på egenvärdena med den första formeln.

Egenvärden

För att hitta alla egenvärden till en avbildningsmatris löser vi ekvationen



där de värden på som uppfyller ekvationen är egenvärdena. Om vi säger att ges av



kommer kunna skrivas som



Det är denna matris vi ska beräkna determinanten av för att få fram egenvärdena.

Övning

Hitta alla egenvärden till matrisen där



Lösning

Vi applicerar formeln som vi precis såg. Det första vi vill veta är alltså vad I blir





Vi vill nu beräkna determinanten matrisen . Vi använder oss av kofaktor-utveckling och utvecklar längs den första raden











Vi ser att vårt resultat blir noll då är lika med , eller .


Matrisens egenvärden är alltså



Egenvektorer

För att hitta alla egenvektorer till en avbildningsmatris måste vi redan ha beräknat alla dess egenvärden. Så först egenvärden, sen egenvektorer. När man har egenvärdena ska man stoppa in dessa i ekvationen nedan en åt gången. Varje egenvärde kan ge ett eller flera egenvektorer.



Så säg att vi har två egenvärden och . Då kommer de ge oss två ekvationer at lösa. Dessa kommer i detta fall vara



där varje ekvation kommer kunna ge oss ett antal egenvektorer.


Övning

Hitta alla egenvektorer till matrisen där



givet att egenvärdena är , och .

Lösning

Vi har ekvationen



och börjar med insättning av det första egenvärdet



Vi skapar därefter en totalmatris och gausseliminerar denna till




som ger oss vektorn


Vi ska nu göra samma sak för nästa egenvärde. Vi sätter , och får



Vi gausseliminerar:




vilket motsvarar vektorn


Vi ska nu göra samma sak för det sista egenvärdet. Vi sätter och beräknar



och gausseliminerar




och får vektorn


Vi nu fått fram våra egenvektorer