Parameterform

Linjens ekvation har hittills skrivits som $y=kx+m$, denna form är lik normalformen $ax+by+c=0$ som kommer att användas i denna kurs. Här definieras en linje av sin normal, eller rättare sagt, normalvektor som för linjer ges av $\vec { n } =\left[ \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right]$.

Detta innebär att ifall man har normalvektorn till en linje har man även linjens ekvation och vice versa. Detta gäller även för plan.

Normalformen för en linje är dock inte alltid önskvärd då den kräver att vi befinner oss i ${ R }^{2}$ . Vi kan alltså inte uttrycka en linje i ${R}^{3}$ på normalform!

Av denna anledning introducerar vi ett nytt sätt att beskriva linjer som också kan användas för att beskriva plan, rum och vidare till oändligheten! Vi lär oss parameterform som använder av en punkt och en eller flera vektorer för.

Linjens parameterekvation

Parameterformen för en linje i skrivs med en punkt och en vektor där vektorn betecknar linjens riktning. Säg att vi har punkten och vektorn

och att vi använder en parameter $t$ som är ett reellt tal. Då kan vi skriva om linjens ekvation till parameterformen

I parameterformen är skillnaden mellan en punkt och en vektor att vektorer har en parameter framför sig.

Planets parameterform

Precis som linjen kan även planet uttryckas i parameterform. Vi utgår från normalformen för ett plan $ax+by+cz+d=0$ , som för ett plan enbart applicerbart i ${R}^{3}$ . Normalvektorn är nu $\vec { n } =\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right]$ .

Vi kan på liknande sätt som tidigare uttrycka planet på parameterform, denna gång genom en punkt och två vektorer. Då vi har ett plan krävs det alltså två vektorer för att beskriva hur planet spänner sig.

Säg att vi har vektorerna $\vec{u} , \vec{v}$ och punkten $P$ . Då kan vi uttrycka planet som

Från normal- till parameterform: Linje

Om vi har linjen $ax+by+c=0$ och vill skriva om denna till parameterform börjar vi med att låta en variabel vara kvar i vänsterledet och flytta resten till högerledet. Om vi väljer att behålla $x$ i vänsterledet och får vi då

Vi fortsätter därefter med att byta namn på samtliga i högerledet. Vi säger att $y=t$ , som ger oss

och avslutningsvis

Övning

Ta fram linjen som går mellan punkterna $A=(1,1,2)$ och $B=(5,8,10)$ på parameterform.

Lösning

Vi räknar först ut vektorn mellan $A$ och $B$

$$\vec { v } =\vec { AB }=B-A=(5,8,10)-(1,1,2)=(4,7,8)$$

För linjens ekvation kan vi nu antingen välja $A$ eller $B$ som punkt. Vilken vi väljer spelar ingen roll då de uttrycker samma linje. Vi väljer $A$ för sakens skull och får då att linjen på parameterform

$$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =t\vec { AB } +A=t\left[ \begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 8 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right]$$

Från normal- till parameterform: Plan

Samma metod som tidigare gäller i stort sett för plan också, om vi har planet på normalform $ax+by+cz+d=0$ , så börjar vi med att uttrycka planet med en enda variabel, denna gång väljer vi $z$ för omväxlingens skull (det spelar ingen roll vilken variabel som väljs). Detta ger oss att

Vi fortsätter med att byta namn på alla variabler i högerledet så att $x=t$ och $y=s$ vilket ger oss

som kan skrivas om till

och avslutningsvis

Övning

Bestäm en parameterekvation till planet som innehåller punkten $(2,-1,3)$ och har en normalriktning parallell med $(3,1,1)$.

Lösning

Utifrån informationen om planets normalriktning får vi att normalvektorn är$\vec{n}=(3,1,1)$ .Vi vet alltså att planets ekvation kan skrivas på följande sätt

$$3x+y+z+d=0$$

Vi räknar nu ut $d$ med hjälp av formeln vi gick igenom insättning av $P$ i planets ekvation:

$$3(2)+(-1)+(3)+d=0\quad \Leftrightarrow \quad d=-8$$

Vi sätter nu in $d$ i planets ekvation och får då planets normalekvation:

$$3x+y+z-8=0$$

För att fortsätta skriver vi om ekvationen genom att flytta över en av de fria variablerna (i detta fall $y$ ) till högerleder.

$$y=-3x-z+8$$

Vi byter nu namn på samtliga variabler som är kvar i vänsterledet så att $x=s$ och $z=t$ vilket ger oss

$$\begin{cases} x=s \\ y=-3s-t+8 \\ z=t \end{cases}\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =s\left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix} \right] +t\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix} \right]$$