Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 14

Grahm-Schmidt ortogonalisering

by Christian Abdelmassih

Inledning

Gram-Schmidt ortogonalisering är metoden för att transformera en godtycklig bas till en ON-bas (Ortogonal & Normaliserad bas) som har samma spann som den första basen. Denna metod använder sig av ortogonal projektion som därför ett förkunskapskrav till denna lektion. Ifall du saknar denna kunskap kan den finna den i detta kapitel.

Grahm-Schmidt ortogonalisering

Antag att vi har en godtycklig bas som vi vill ortogonal- och normalisera genom Grahm-Schmidt metoden till basen .


För att beräkna den första ON-vektorn krävs enbart en normalisering av den första vektorn så att:



Den andra ON-vektorn fås genom att ta den andra vektorn och subtrahera den med sig egnas projektion på följt av en normalisering




Den tredje ON-vektorn beräknas genom subtraherat med dess projektion på den första ON-vektorn subtraherad med dess projektion av den andra ON-vektorn följt av en normalisering




Efter detta har vi skapat ON-basen med hjälp av Grahm-Schmidt ortogonalisering.

Övning

Givet basen:



beräkna dess motsvarande ortogonal-normaliserade bas genom Grahm-Schmidt metoden.

Lösning

Vi normaliserar och får då den första ON-vektorn :




Vi beräknar sedan den andra ON-vektorn och eftersom vi redan normaliserat vet vi att , vi beräknar:








Avslutningsvis beräknar vi sen sista ON-vektorn :









Vi har därmed skapat ON-basen: