Linjär Algebra

Back to All Courses

Lesson 10

Inversmatrisen

by Christian Abdelmassih

Inversen av en matris

Om vi har ett tal så kan dess invers betecknas . Om vi multiplicerar dessa kommer resultatet bli .


Samma sak som gäller för inverser av tal gäller även för matriser och dess inverser bortsett från en sak. Om vi har en matris och dess invers kommer multiplikationen av dessa att bli , det vill säga identitetsmatrisen istället för .


Men det är inte alla matriser som har inverser. För att vara helt säker på att har en invers behöver man kontrollera att kolumnerna i är linjärt oberoende. Ett vanligt sätt att kontrollera detta är att beräkna determinanten och kontrollera det den är skild från noll så att .


För att beräkna inversmatrisen ska vi därmed skapa en totalmatris med som vänsterled och identitetsmatrisen som högerled. Målet är att använda Gauss-Elemination så att identitetsmatrisen hamnar i vänsterledet. Den matris som så är i högerledet är då . Se gärna exemplet nedan.

Exercise

Vi har matrisen , beräkna dess invers förutsatt att determinanten är nollskiljd



Solution

Vi sätter in i vänsterledet och identitetsmatrisen i högerledet av en totalmatris så att vi får



och påbörjar därefter Gauss Eliminationen. Målet är att få en identitetsmatris i vänsterledet.





Vi har nu fått identitetsmatrisen i vänsterledet. Den matris vi nu har i högerledet är därmed vår inversmatris.