Matriser

Matriser är datahållare. De innehåller information som vi vill manipulera på olika vis. Alla matriser innehåller ett visst antal rader och kolonner som beskriver storleken på en matris.

När man anger storleken på en matris skriver man alltid: $\text{rader} \, \text{X} \, \text{kolumner}$ . Detta innebär att $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right]$ är ett exempel på en $2\text{x}3$ matris.

Om antalet rader motsvarar antalet kolumner så har man en kvadratisk matris: $\begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 26 \end{bmatrix}$ råkar vara en $2\text{x}2$ kvadratisk matris.

Matriser och transponering

Transponering innebär att raderna och kolumnerna i en matris byter plats. Transponatet till matrisen $B$ betecknas ${ B }^{ T }$ . Nedan finner vi ett exempel på hur en matris och dess transponat kan se ut

\text{Om} \, B=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 5 & 2 & 9 \end{bmatrix}, \, \text{så} \, { B }^{ T }=\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 2 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}

Addition och subtraktion

Att addera och subtrahera mellan matriser fungerar på ett väldigt intuitivt sätt. Den enda förutsättningen är att båda matriserna är av samma storlek. Både i antalet rader och kolonner.

Säg att vi har matriserna $A$ och $B$ som uttrycks av

A=\begin{bmatrix} {a}_{1} & {b}_{1} \\ {c}_{1} & {d}_{1} \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } \\ c_{ 2 } & { d }_{ 2 } \end{bmatrix}

då kommer additionen och subtraktionen se ut

A+B=\begin{bmatrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } \\ c_{ 1 } & { d }_{ 1 } \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } \\ c_{ 2 } & { d }_{ 2 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 } & { b }_{ 1 }+{ b }_{ 2 } \\ c_{ 1 }+c_{ 2 } & { d }_{ 1 }+{ d }_{ 2 } \end{bmatrix}

A-B=\begin{bmatrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } \\ c_{ 1 } & { d }_{ 1 } \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } \\ c_{ 2 } & { d }_{ 2 } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} { a }_{ 1 }-{ a }_{ 2 } & { b }_{ 1 }-{ b }_{ 2 } \\ c_{ 1 }-c_{ 2 } & { d }_{ 1 }-{ d }_{ 2 } \end{bmatrix}

Exercise
Vi har matriserna

$A=\begin{bmatrix} 5 & 7 & 2 \\ -2 & 9 & 4 \end{bmatrix} \quad B=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 5 & 2 & 9 \end{bmatrix}$

a) Beräkna $A+B$
b) Beräkna $A-B$

Solution
a) Vi utför beräkningarna och får

$A+B=\begin{bmatrix} 5 & 7 & 2 \\ -2 & 9 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 5 & 2 & 9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5+1 & 7+3 & 2+7 \\ -2+5 & 9+2 & 4+9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 & 10 & 9 \\ 3 & 11 & 13 \end{bmatrix}$

b) Vi utför beräkningarna på samma vis som ovan och får

$A-B=\begin{bmatrix} 5 & 7 & 2 \\ -2 & 9 & 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 5 & 2 & 9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5-1 & 7-3 & 2-7 \\ -2-5 & 9-2 & 4-9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 4 & -5 \\ -7 & 7 & -5 \end{bmatrix}$

Skalär multiplikation

För att multiplicera en skalär $k$ med en matris $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ så kommer resultatet att bli $k$ multiplicerat med varje element i matrisen

kA=k\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{bmatrix}

Viktigt!
Denna typ av multiplikation får inte misstas för skalärprodukten som är definierad enbart för vektorer där $\vec { u } \cdot \vec { v } ={ u }_{ 1 }*{ v }_{ 1 }+{ u }_{ 2 }*{ v }_{ 2 }+\cdots$

Exercise
Vi har matrisen $A=\left[ \begin{matrix} 4 & 0 \\ -1 & 5 \end{matrix} \right]$ . Beräkna $3A$

Solution
Vi får $3A$ till

$3A=3\left[ \begin{matrix} 4 & 0 \\ -1 & 5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3*4 & 3*0 \\ 3*(-1) & 3*5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 12 & 0 \\ -3 & 15 \end{matrix} \right]$

Matrismultiplikation

Denna typ av multiplikation skiljen sig från mängden. Det kan betraktas så att varje rad i den första matrisen ska tas skalärt(Se skalärprodukten) med varje kolumn i den andra matrisen. Vart resultatet hamnar motsvarar vilken rad och kolumn som skalärprodukten utförs med.

\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } & { x }_{ 4 } \\ { x }_{ 5 } & { x }_{ 6 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} { y }_{ 1 } & { y }_{ 3 } \\ { y }_{ 2 } & { y }_{ 4 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 }{ y }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }{ y }_{ 2 } & { x }_{ 1 }{ y }_{ 3 }+{ x }_{ 2 }{ y }_{ 4 } \\ { x }_{ 3 }{ y }_{ 1 }+{ x }_{ 4 }{ y }_{ 2 } & { x }_{ 3 }{ y }_{ 3 }+{ x }_{ 4 }{ y }_{ 4 } \\ { x }_{ 5 }{ y }_{ 1 }+{ x }_{ 6 }{ y }_{ 2 } & { x }_{ 5 }{ y }_{ 3 }+{ x }_{ 6 }{ y }_{ 4 } \end{matrix} \right]

Om vi har två matriser: $A$ och $B$ , så är multiplikationen $A*B$ inte densamma som $B*A$ , det vill säga: $A*B eq B*A$ . Av denna anledning är det viktigt att hålla reda på vilken matris som är var.

För att multiplikationen av två matriser ska vara definierad måste den första matrisen ha lika många kolonner som den andra matrisen har rader. Detta illustreras på bilden nedan.

Sifforna i rött måste vara identiska för en definierad multiplikation, de blå kommer bli den nya matrisens dimensioner

En sak som matrismultiplikation verkligen skiljer sig från andra operationer är att den inte är kommutativ, det vill säga att Om vi har matriserna $A$ och $B$ så gäller

A*B eq B*A

Detta beror två saker

Beroende på antalet rader och kolumner i matriserna kan matrismultiplikationen inte längre vara definierad i t.ex $A*B$ men fungerar utan problem som $B*A$ .
Om multiplikationen faktisk är definierad kommer de att ge olika värden

Övning
Vi har matriserna $A=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] ,\quad B=\left[ \begin{matrix} 5 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

a) beräkna $A*B$
b) beräkna $B*A$
c) jämför resultatet från a) och b)

Solution
a) Vi börjar med att ställa upp multiplikationen $A*B$

$A*B=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 5 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

och ser att multiplikationen är definierad på antalet kolumner i den vänstra matrisen $A$ motsvarar antalet rader i den högra matrisen $B$ . Vi ser även att resultatet måste bli en $3\text{x}3$ matris eftersom den första matrisen $A$ har $3$ rader och den andra matrisen $B$ har $3$ kolumner.

Vi räknar ut $A*B$

$\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 5 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2*5+(-1)*(-1) & 2*1+(-1)*0 & 2*(-3)+(-1)*1 \\ 3*5+0*(-1) & 3*1+0*0 & 3*(-3)+0*1 \\ 0*5+4*(-1) & 0*1+4*0 & 0*(-3)+4*1 \end{matrix} \right]$

$A*B=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 5 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 11 & 2 & -7 \\ 15 & 3 & -9 \\ -4 & 0 & 4 \end{matrix} \right]$

b) Vi fortsätter nu med att beräkna $B*A$

$B*A=\left[ \begin{matrix} 5 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right]$

och ser att resultatet måste vara en $2\text{x}2$ matris. Vi beräknar $B*A$ till

$\left[ \begin{matrix} 5 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 5*2+1*3+(-3)*0 & 5*(-1)+1*0+(-3)*4 \\ (-1)*2+0*3+1*0 & (-1)*(-1)+0*0+1*4 \end{matrix} \right]$

$B*A=\left[ \begin{matrix} 5 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 13 & -17 \\ -2 & 5 \end{matrix} \right]$

c) Vi ser nu tydligt att $A*B eq B*A$ eftersom

$A*B=\left[ \begin{matrix} 11 & 2 & -7 \\ 15 & 3 & -9 \\ -4 & 0 & 4 \end{matrix} \right] eq \left[ \begin{matrix} 13 & -17 \\ -2 & 5 \end{matrix} \right] =B*A$