Projektion Säg att vi har två vektorer u ⃗ \vec { u } u , v ⃗ \vec { v } v och att vi vill återskapa u ⃗ \vec{u} u i riktningen för v ⃗ \vec{v} v . Då kan vi använda projektion!
Om vi projicerar u ⃗ \vec{u} u på v ⃗ \vec{v} v kommer resultatet av projektionen kunna betecknas p r o j v ⃗ ( u ⃗ ) { proj }_{ \vec { v } }\left( \vec { u } \right) p ro j v ( u ) och kunna betraktas som skuggan av vektor u ⃗ \vec{u} u på v ⃗ \vec{v} v . Detta kan illustreras som
Projektionen av u blir en ny vektor (grön) som är parallel med v
Den nya vektorn p r o j v ⃗ ( u ⃗ ) { proj }_{ \vec { v } }\left( \vec { u } \right) p ro j v ( u ) blir därmed parallell med den vektor v ⃗ \vec{v} v som var målet för projektionen.
Formeln för projektion har utseendet
p r o j v ⃗ ( u ⃗ ) = ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ∥ v ⃗ ∥ 2 ) v ⃗ { proj }_{ \vec { v } }\left( \vec { u } \right) =\left( \frac { \vec { u } \cdot \vec { v } }{ { \left\| \vec { v } \right\| }^{ 2 } } \right) \vec { v } p ro j v ( u ) = ( ∥ v ∥ 2 u ⋅ v ) v
Notera att i formeln är vektorn v ⃗ \vec{v} v som är målet för projektionen viktigare än vektorn u ⃗ \vec{u} u som faktiskt projiceras.
Notera även att det är skalärprodukt mellan u ⃗ \vec{u} u och v ⃗ \vec{v} v , dvs u ⃗ ⋅ v ⃗ = u 1 ∗ v 1 + u 2 ∗ v 2 + … \vec { u } \cdot \vec { v } ={ u }_{ 1 }*{ v }_{ 1 }+{ u }_{ 2 }*{ v }_{ 2 }+\dots u ⋅ v = u 1 ∗ v 1 + u 2 ∗ v 2 + …
Övning Vi har vektorerna
u ⃗ = [ − 7 4 1 ] , v ⃗ = [ 3 2 − 1 ] \vec { u } =\left[ \begin{matrix} -7 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right], \quad \vec { v } =\left[ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] u = − 7 4 1 , v = 3 2 − 1
beräkna projektionen av v ⃗ \vec{v} v på u ⃗ \vec{u} u .
Lösning Projektionen av v ⃗ \vec{v} v på u ⃗ \vec{u} u motsvarar p r o j u ⃗ ( v ⃗ ) = ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ∥ u ⃗ ∥ 2 ) u ⃗ { proj }_{ \vec { u } }\left( \vec { v } \right) =\left( \frac { \vec { v } \cdot \vec { u } }{ { \left\| \vec { u } \right\| }^{ 2 } } \right) \vec { u } p ro j u ( v ) = ( ∥ u ∥ 2 v ⋅ u ) u . Detta kommer att ge oss
P r o j u ⃗ ( v ⃗ ) = ( v ⃗ ⋅ u ⃗ ∥ u ⃗ ∥ 2 ) u ⃗ = ( [ 3 2 − 1 ] ⋅ [ − 7 4 1 ] ∥ [ − 7 4 1 ] ∥ 2 ) [ − 7 4 1 ] = ( − 14 66 ) [ − 7 4 1 ] { Proj }_{ \vec { u } }\left( \vec { v } \right) =\left( \frac { \vec { v } \cdot \vec { u } }{ { \left\| \vec { u } \right\| }^{ 2 } } \right) \vec { u } =\left( \frac { \left[ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} -7 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right] }{ { \left\| \left[ \begin{matrix} -7 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right] \right\| }^{ 2 } } \right) \left[ \begin{matrix} -7 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left( \frac { -14 }{ { 66 } } \right) \left[ \begin{matrix} -7 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right] P ro j u ( v ) = ( ∥ u ∥ 2 v ⋅ u ) u = − 7 4 1 2 3 2 − 1 ⋅ − 7 4 1 − 7 4 1 = ( 66 − 14 ) − 7 4 1
som avslutningen ger oss projektionen P r o j u ⃗ ( v ⃗ ) = ( − 7 33 ) [ − 7 4 1 ] { Proj }_{ \vec { u } }\left( \vec { v } \right) =\left( \frac { -7 }{ 33 } \right) \left[ \begin{matrix} -7 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right] P ro j u ( v ) = ( 33 − 7 ) − 7 4 1 .
Reflektion Säg återigen att vi har två vektorer u ⃗ \vec{u} u och v ⃗ \vec{v} v och att vi vill använda v ⃗ \vec{v} v som en spegel för u ⃗ \vec{u} u . Då kan vi använda reflektion.
Att reflektera u ⃗ \vec{u} u längs v ⃗ \vec{v} v betecknas r e f v ⃗ ( u ⃗ ) {ref}_{\vec{v}}(\vec{u}) re f v ( u ) och kan illustreras som
Reflektionen av u blir en ny vektor (grön) som är en spegling längs v
där formeln för reflektion ges av
r e f v ⃗ ( u ⃗ ) = 2 p r o j v ⃗ ( u ⃗ ) − u ⃗ {ref}_{\vec{v}}(\vec{u})=2{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})-\vec{u} re f v ( u ) = 2 p ro j v ( u ) − u
Övning Vi har vektorerna
a ⃗ = [ 2 4 2 ] , b ⃗ = [ − 6 2 4 ] \vec { a } =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right] ,\quad \vec { b } =\left[ \begin{matrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right] a = 2 4 2 , b = − 6 2 4
beräkna r e f b ⃗ ( a ⃗ ) {ref}_{\vec{b}}(\vec{a}) re f b ( a )
Lösning Då vi vet formeln för reflektion, r e f b ⃗ ( a ⃗ ) = 2 p r o j b ⃗ ( a ⃗ ) − a ⃗ {ref}_{\vec{b}}(\vec{a})=2{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})-\vec{a} re f b ( a ) = 2 p ro j b ( a ) − a börjar vi med att beräkna projektionen p r o j b ⃗ ( a ⃗ ) {proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) p ro j b ( a ) och får projektionen till
p r o j b ⃗ ( a ⃗ ) = ( − 12 + 8 + 8 36 + 4 + 16 ) b ⃗ = ( 4 56 ) b ⃗ = ( 1 14 ) b ⃗ { proj }_{ \vec { b } }(\vec { a } )=\left( \frac { -12+8+8 }{ 36+4+16 } \right) \vec { b } =\left( \frac { 4 }{ 56 } \right) \vec { b } =\left( \frac { 1 }{ 14 } \right) \vec { b } p ro j b ( a ) = ( 36 + 4 + 16 − 12 + 8 + 8 ) b = ( 56 4 ) b = ( 14 1 ) b
och avslutningsvis reflektionen till
r e f b ⃗ ( a ⃗ ) = 2 ( 1 14 ) b ⃗ − a ⃗ ref_{ \vec { b } }\left( \vec { a } \right) =2\left( \frac { 1 }{ 14 } \right) \vec { b } -\vec { a } re f b ( a ) = 2 ( 14 1 ) b − a
r e f b ⃗ ( a ⃗ ) = ( 1 7 ) [ − 6 2 4 ] − [ 2 4 2 ] ref_{ \vec { b } }\left( \vec { a } \right) =\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \left[ \begin{matrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right] re f b ( a ) = ( 7 1 ) − 6 2 4 − 2 4 2
r e f b ⃗ ( a ⃗ ) = ( 1 7 ) ( [ − 6 2 4 ] − [ 2 ∗ 7 4 ∗ 7 2 ∗ 7 ] ) ref_{ \vec { b } }\left( \vec { a } \right) =\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \left( \left[ \begin{matrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 2*7 \\ 4*7 \\ 2*7 \end{matrix} \right] \right) re f b ( a ) = ( 7 1 ) − 6 2 4 − 2 ∗ 7 4 ∗ 7 2 ∗ 7
r e f b ⃗ ( a ⃗ ) = ( 1 7 ) ( [ − 6 2 4 ] − [ 14 28 14 ] ) ref_{ \vec { b } }\left( \vec { a } \right) =\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \left( \left[ \begin{matrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 14 \\ 28 \\ 14 \end{matrix} \right] \right) re f b ( a ) = ( 7 1 ) − 6 2 4 − 14 28 14
r e f b ⃗ ( a ⃗ ) = ( − 1 7 ) [ 20 26 10 ] ref_{ \vec { b } }\left( \vec { a } \right) =\left( \frac { -1 }{ 7 } \right) \left[ \begin{matrix} 20 \\ 26 \\ 10 \end{matrix} \right] re f b ( a ) = ( 7 − 1 ) 20 26 10
Vi har därmed skapat en vektor r e f b ⃗ ( a ⃗ ) ref_{ \vec { b } }(\vec { a } ) re f b ( a ) som är en spegling av a ⃗ \vec{a} a längs b ⃗ \vec{b} b
