Egenvärde & Egenvektor

Definition

Vid linjära transformationer finns det ibland vektorer som inte ändrar riktning utan som bara blir längre eller kortare.

Om är en linjär avbildning med avbildningsmatrisen  och vi har en vektor som uppfyller , där är ett tal. Då kommer att vara en egenvektor och vara ett egenvärde till egenvektorn.

Med andra ord betyder det alltså att matrisen bara har förändrat längden av vektorn med faktorn .

För att kunna uttrycka dessa vektorer korrekt är det därmed två saker som måste göras.

1. Ta reda på alla egenvärden

2. Ta reda på alla egenvektorerna som varje egenvärde leder till

För att åstadkomma båda sakerna finns det två olika formler vi kommer använda oss av

1. där är identitetsmatrisen

Vi börjar med att ta reda på egenvärdena med den första formeln.

Egenvärden

För att hitta alla egenvärden till en avbildningsmatris löser vi ekvationen

där de värden på som uppfyller ekvationen är egenvärdena. Om vi säger att ges av

kommer kunna skrivas som

Det är denna matris vi ska beräkna determinanten av för att få fram egenvärdena.

Övning

Hitta alla egenvärden till matrisen där

Lösning

Vi applicerar formeln som vi precis såg. Det första vi vill veta är alltså vad I blir

Vi vill nu beräkna determinanten matrisen . Vi använder oss av kofaktor-utveckling och utvecklar längs den första raden

Vi ser att vårt resultat blir noll då är lika med , eller .

Matrisens egenvärden är alltså

Egenvektorer

För att hitta alla egenvektorer till en avbildningsmatris måste vi redan ha beräknat alla dess egenvärden. Så först egenvärden, sen egenvektorer. När man har egenvärdena ska man stoppa in dessa i ekvationen nedan en åt gången. Varje egenvärde kan ge ett eller flera egenvektorer.

Så säg att vi har två egenvärden och . Då kommer de ge oss två ekvationer at lösa. Dessa kommer i detta fall vara

där varje ekvation kommer kunna ge oss ett antal egenvektorer.

Övning

Hitta alla egenvektorer till matrisen där

givet att egenvärdena är , och .

Lösning

Vi har ekvationen

och börjar med insättning av det första egenvärdet

Vi skapar därefter en totalmatris och gausseliminerar denna till

som ger oss vektorn

Vi ska nu göra samma sak för nästa egenvärde. Vi sätter , och får

Vi gausseliminerar:

vilket motsvarar vektorn

Vi ska nu göra samma sak för det sista egenvärdet. Vi sätter och beräknar

och gausseliminerar

och får vektorn

Vi nu fått fram våra egenvektorer