Diagonalmatris
En diagonalmatris har utseendet att den har noll i alla element förutom diagonalen. Nedan ser hur en diagonalmatris ser ut
där är valfria skalärer.
Diagonalisering
Diagonalisering innebär att vi har en matris och betraktar den som transformationsmatrisen till en linjär avbildning söker vi en motsvarande matris som är en tranformationsmatris fast i en annan valfri bas samtidigt som är en diagonalmatris och följande förhållande är satisfierat
där är en basbytesmatris till basen som transformerar i.
I samband med diagonalisering kommer det alltid finnas ett och som är beroende av egenvektorerna och egenvärdena. Detta ger att dessa matriser kan uttryckas, i fallen som
där är egenvärdena till egenvektorerna respektive som fås från .
Vi söker därmed egenvärdena och egenvektorerna i samband med diagonalisering.
Övning
Diagonalisera matrisen
Lösning
Vi vill diagonalisera A och tar därmed fram dess egenvärden och egenvektorer. Egenvärdena ges av
Vi beräknar därefter egenvektorerna och får
Detta ger oss nu egenvärdena till egenvektorerna respektive.
Genom detta skapar vi basbytesmatrisen och diagonalmatrisen
och tar fram inversmatrisen
Då gäller . Matrisen är därmed diagonaliserad
Matrispotenser
Vad använder man då diagonalisering till? Jo, om man har en matris som man diagonaliserar, kan man enkelt räkna ut dess potenser (, , ...) genom formeln:
Uträkningen av D:s potenser är väldigt enkel eftersom det är en diagonalmatris! Det räcker därför att räkna ut potensen av talen längs dess huvuddiagonal (och slippa krångliga matrismultiplikationer)!
Övning
Beräkna då
Lösning
Vi använder diagonaliseringen från förra uppgiften för att beräkna matrispotensen. Vi fick där matriserna som ges av
Vi använder sambandet uttryck med potenser så att vi får
Då en diagonalmatris med potens ges av matrisen med diagonalelementen upphöjda i den potensen får vi:
som ger oss: