Vad är vektorfält?
Ett vektorfält är ett rum där varje punkt i rummet är en vektor.
Man skulle alltså kunna skriva funktionen till ett vektorfält på följande sätt:
Det finns faktiskt flera fysikaliska exempel på vektorfält i vår värld, t.ex. elektriska fält och magnetiska fält.
Konservativa vektorfält
Vektorfältet sägs vara konservativt om det existerar en funktion sådan att .
Obs! Denna funktion kallas även för en potentialfunktion till .
I uppgifter måste man ofta ta reda på om ett fält är konservativt eller inte. Vi måste isåfall hitta en funktion som uppfyller kravet ovan. För att hitta det löser man ekvationssystemet:
Om systemet saknar lösning så är vektorfältet inte konservativt.
Om vektorfältet är sammanhängande (d.v.s. att båda dess funktioner och är kontinuerliga), så kan man bevisa att F är konservativt genom att visa att
Exempel:
Bestäm alla reella tal a och b så att vektorfältet blir konservativt.
Lösning:
Vi identifierar först våra funktioner och utifrån vektorfältet som vi fått. Vi ser att:
Vi märker också att båda funktionerna är kontinuerliga. För att fältet ska bli konservativt kan vi alltså sätta:
Vi räknar först ut derivatan av h med avseende på x:
Och sedan derivatan av g med avseende på y:
Slutligen löser vi då ekvationen:
...vilket man ser att man kan göra genom att lösa ekvationssystemet:
(talen framför )
(:s exponenter)
Vi får då ut två lösningar!
(detta ser man direkt i ekvationen)