Flervariabelanalys

Back to All Courses

Lesson 8

Nablaoperatorn

Inledning

När man ser nablaoperatorn ∇\nabla är det oftast i samband med beräkningar av gradienten grad(f)=∇fgrad(f)= \nabla f som ger ett missvisande intryck då man antar att ∇=grad\nabla =grad som inte alls stämmer. Denna lektion syftar till att förklara syftet med Nabla samt i vilka sammanhang den appliceras.

Nablaoperatorn

Nabla ∇\nabla är en vektor med de partiella derivatorna för varje variabel i varje respektive element. Allmänt kan Nabla betraktas som både vara en radvektor eller en kolumnvektor:


∇1×n=(∂∂u1,∂∂u2,…,∂∂un)∇n×1=[∂∂u1∂∂u2…∂∂un]{ \nabla }_{ 1\times n } = \left( \frac { \partial }{ \partial u_{ 1 } } ,\frac { \partial }{ \partial { u }_{ 2 } } ,\dots ,\frac { \partial }{ \partial { u }_{ n } } \right) \quad { \nabla }_{ n\times 1 } = \left[ \begin{matrix} \begin{matrix} \frac { \partial }{ \partial u_{ 1 } } \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac { \partial }{ \partial u_{ 2 } } \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \dots \\ \frac { \partial }{ \partial u_{ n } } \end{matrix} \end{matrix} \right]


där u1,u2,...,un{u}_{ 1 },{u}_{ 2 },...,{u}_{ n } är dina variabler (oftast x,y,zx,y,z ) och där n är dimensionen varpå ∇\nabla verkar. Dimensionen för nabla är definerat beroende på den funktion man låter Nabla att verka på. Om vitar fram∇(f)\nabla (f) där dim(f)=3dim(f)=3 blir även dim(∇)=3dim(\nabla )=3 .

Tillämpningar

I kursen flervariabelanalys har nablaoperatorn tre tillämpningar:

  • Beräkning av gradienten: grad(f)=∇(f)grad(f)= \nabla(f)

  • Beräkning av divergensen: div(F⃗)=∇⋅(F⃗)div(\vec { F } )= \nabla \cdot (\vec { F } )

  • Beräkning av rotationen: rot(F⃗)=∇×(F⃗)rot(\vec { F } )= \nabla \times (\vec { F } )

Viktigt är att notera följande beskrivning av Nablaoperatorn då den behandlar fram för allt olika typer av fält. För att beskriva rotationen definerar vi F⃗\vec { F } enligt F⃗=(a,b,c)\vec { F } =(a,b,c)



∇f=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)⋅f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = \left( \frac {\partial}{\partial x }, \frac { \partial }{ \partial y } ,\frac { \partial }{ \partial z } \right) \cdot f = \left( \frac { \partial f }{ \partial x } ,\frac { \partial f }{ \partial y } ,\frac { \partial f }{ \partial z } \right)


Skala¨rfa¨lt→Vektorfa¨lt\text{Skalärfält} \quad \rightarrow \quad \text{Vektorfält}


∇⋅F⃗=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)⋅F⃗=∂F⃗∂x+∂F⃗∂y+∂F⃗∂z{ \nabla }\cdot \vec { F } = \left( \frac { \partial }{ \partial x } ,\frac { \partial }{ \partial y } ,\frac { \partial }{ \partial z } \right) \cdot \vec { F } = \frac { \partial \vec { F } }{ \partial x } +\frac { \partial \vec { F } }{ \partial y } +\frac { \partial \vec { F } }{ \partial z }


Vektorfa¨lt→Skala¨rfa¨lt\text{Vektorfält} \quad \rightarrow \quad \text{Skalärfält}



∇×F⃗=[∂∂x∂∂y∂∂z]×F⃗=[∂c∂y−∂b∂z∂a∂z−∂c∂x∂c∂x−∂a∂z]{ \nabla }\times \vec { F } = \left[ \begin{matrix} \begin{matrix} \frac { \partial }{ \partial x } \\ \end{matrix} \\ \frac { \partial }{ \partial y } \\ \begin{matrix} \\ \frac { \partial }{ \partial z } \end{matrix} \end{matrix} \right] \times \vec { F } = \left[ \begin{matrix} \begin{matrix} \frac { \partial c }{ \partial y } -\frac { \partial b }{ \partial z } \\ \end{matrix} \\ \frac { \partial a }{ \partial z } -\frac { \partial c }{ \partial x } \\ \begin{matrix} \\ \frac { \partial c }{ \partial x } -\frac { \partial a }{ \partial z } \end{matrix} \end{matrix} \right]




Vektorfa¨lt→Vektorfa¨lt\quad \quad \text{Vektorfält} \quad \rightarrow \quad \text{Vektorfält}


Notera att det Nablaoperaton gör är att ändra typen av fält vid multiplikation:


(1)(1) ∇∗Skala¨rfunktion=Vektorfunktion\nabla *\text{Skalärfunktion}=\text{Vektorfunktion}, där ∗* är vanlig multiplikation mellan tal.


(2)(2) ∇∗Vektorfunktion=Skala¨rfunkton\nabla * \text{Vektorfunktion} = \text{Skalärfunkton} , där ⋅\cdot är skalärprodukten mellan vektorer.


(3)(3) ∇×Vektorfunktion=Vektorfunktion\nabla \times \text{Vektorfunktion}=\text{Vektorfunktion}, där ×\times är kryssprodukten mellan vektorer.




I de första två fallen (1)(1) och (2)(2)som är en del av definitionen för gradient och divergens respektive kan man informellt tänka sig att vid enklare multiplikation med Nabla går funktionen över till sin motsatta form. I fallet med kryssprodukt (3)(3) som tillhör rotation så går F⃗\vec { F } från ett vektorfält till ett annat vektorfält.


Viktigt: rot(F⃗)=∇×F⃗rot(\vec { F })={ \nabla }\times \vec { F } existerar bara då dim(F⃗)=3dim(\vec { F })=3 eftersom kryssprodukten endast är definerad för tre dimensioner(!).


Gradienten, divergensen och rotationen i sig appliceras sedan i ett flertal formler så som Stokes' sats och Gauss Divergenssats. För betydelsen hos varje operator/formel hänvisar jag till respektive lekton då denna är till för att reda ut missförstånd som kan uppstått under kursgången.