Inledning
Denna lektion är ämnad till att sammanfatta alla formler som används i samband med integraler, hur dessa skiljer sig och förhopningsvis ge en större helhet till formlerna.
Allmänt gäller det att vår vekorfunktion definieras av , , och som i sin tur är funktioner utav , och så att . Detta appliceras genom de flersta integral-formler
Kurvintegraler
Allmänna kurvintegraler
Här är integranden är ett kraftfält och den beräknade integralen arbetet som sker när man vandrar längs vägen
Oftast brukar den mittersta omskrivningen passa när vägen är cirkulär medan den högra omskrivningen passa då är en rak linje.
Greens formel
Formeln appliceras på kurvintegraler i som har sin startpunkt och slutpunkt på samma ställe så att det omsluter ett kontinuerligt område . Detta gör att kurvintegralen kan skrivas om till en dubbelintegral som oftast leder till enklare beräkningar.
Det formeln menar i är att ifall vår väg är randen till ett kontinuerligt och positivt orienterat område sker det en ekvivalens mellan väster- och högerled och gör en omskrivning möjlig. Orienteringen av området måste vara av positiv riktning (moturs) för att formeln ska gälla!
Öven här är integranden ett kraftfält och integralen arbetet då det fortfarande är en kurvintegral som beräknas.
Stokes sats
Kriterierna för att få använda denna formel är mycket lik Greens formel då ett kontinuerligt och positivit orienterat område måste existera. Det som skiljer Stokes sats från Greens är att denna är definierad i som gör området till en yta medan Greens formel är definierad i .
\gamma\gammaven denna formel är integranden ett kraftfält och integralen arbetet då det återigen är en kurvintegral som beräknas.
Notera:. Detta beskrivs vidare i lektionen Nablaoperatorn.
Ytintegraler
Integraler av denna typ integrerar en funktion som svävar över en definierad yta
vilket gör att integralen är volymen utav området imellan.
I dett fallet att integranden finns det inte längren en funktion som svävar över en yta och därmed ingen volym att beräkna längre vilket gör att integralen, i detta specialfall, numera beräknar en area istället.
Notera: Då integral-området är en yta (Surfice) kommer areaelementet att uppkomma. Denna omskrivs olika beroende på den karaktär som funktionen är beskriven på.
Explicit form
Då funktionen är beskriven på en explicit form får följande karaktär:
med normalvektorn
Parameterform där och är funktioner utav och enligt
Då funktionen är beskriven på en parameterform får areaelementet följande utseende:
med normalvektor
Trippelintegraler
När man har trippelintegraler kommer integranden vara en funktion som beskriver densisteten hos kroppen vilket gör att den beräknade trippelintegralen blir massan av kroppen.
Men i detta fall existerar det ett specialfall då densitet-funktionen som gör att den beräknade trippelintegralen blir volymen utav kroppen .
Flödesintegraler
Allmänna flödesintegraler
Denna typ av integral beräknar ett flödet av vektorfältet genom en yta .
Gauss Divergenssats
Integralen i Gauss Divergenssats använder sig av en definierad randyta till en kropp för att beräkna flödet ut genom den kroppen.
Notera: . Detta beskrivs vidare i lektionen Nablaoperatorn.
Potentialfält
Om ett potentialfält existerar kan det beräknas genom beräkning av primitiv funktion för vektorfältet då de innehålls i sambandet:
Notera: I det fallet att ett vektorfält i är följande ett kriterium för att ett potentialfält ska kunna existera:
I fallet att vi befinner oss i med vektorfältet krävs följande kriterium:
Ifall respektive kriterium satisfieras är det därmed bevisat att ett potentialfält existerar (dock inte beräknat)