Definition
I ett matematiskt problem där vi har ett villkor och ett bivillkor , säger Lagranges sats att lösningen erhålls i den punkt där och är parallella.
Hur man löser ett Langrange-problem
För att lösa ett Lagrange-problem gör man följande:
Identifiera villkoret och bivillkoret! Sätt och . (Obs! Ibland bör man också konstatera att är kontinuerlig och är kompakt, och att det alltså finns en lösning).
Räkna ut och
Lös Lagrange-ekvationen: genom att ställa upp resultatet som ett ekvationssystem, alltså:
bivillkor
De 2 första raderna är funktionernas gradienter, och den sista raden är bivillkoret. Genom att lösa systemet får man en eller flera punkter P(x,y).
Om du får flera punkter finns det även ett sista steg: sätt in punkternas värden i funktionen f. Kolla vilken punkt som ger det största eller minsta resultatet (beroende på vad som söks). Där har du svaret!
Exempel
Vad är det största värdet som kan antas av funktionen om punkten högst får ligga en längdenhet från origo?
Lösning
Vi identifierar först vårt villkor och bivillkor! Vi ser direkt att vårt villkor (det värde som vi vill maximera) är:
Vi måste nu formulera om bivillkoret, att punkten (x,y) högst får ligga en längdenhet från origo, till en funktion g.
Meningen betyder att punkten högst får ligga på randen till cirkeln med ekvationen:
Vi kan alltså formulera om det till:
Vi ställer nu upp Lagrange-ekvationen (genom att lösa de partiella derivatorna), och får:
Vi börjar med att ersätta x i den första ekvationen med dess värde från den andra ekvationen! Vi får då:
...vilket ger lösningen:
Om vi sätter in det värdet på första (eller andra ekvationen), får vi att:
Slutligen ersätter vi x med i den tredje ekvationen, och får då:
På samma sätt kan vi ersätta med och får:
Vi får alltså 4 punkter:
Eftersom vi har flera punkter måste vi sätta in punkternas värden i funktionen f. Gör man detta märker man att det största värdet antas då:
Det största värdet som kan antas av funktionen om punkten (x, y) högst får ligga en längdenhet från origo är alltså 1/2!