Material har en tendens att ändra proportioner med temperaturen. För att sammanfatta deras benägenhet till detta har man en så kallad termisk längdutvidningskoefficient, . Det är nämligen så att ett materials axiella förlängning i själva verket följer ekvationen: . Den ekvationen har vi fått från axiella töjningens ekvation vid temperaturändring, som ser ut som så: .
Som tidigare ska vi tillämpa det här direkt på en vanlig uppgit.
Exercise
Två stänger är monterade som i figuren nedan:
De har båda samma tvärsnitt, med dimensionerna . De har dock olika längd, E-modul och . Vi ska bestämma vilken temperaturhöjning som orsakar knäckning.
Solution
Jämvikt
I första hand kan vi konstatera att samma normalkraft går igenom balkarna, och således att vilket i sin tur leder till att samma spänning erhålls i de: vi slår därför ihop dessa variabler till en spänning .
Material- och Geometriska egenskaper
Utöver jämvikten ovan kan vi etablera flera samband, nämligen: , och . Balkens tvärsnittsegenskaper kan även beräknas vara: och
Kompatibilitet
Eftersom balkarna är låsta mellan två väggar kan deras totalalängd inte förändras. Hur de än förlängs eller förkortas måste alltså .
Om vi nu applicerar det konstitutiva sambandet som lyder så får vi alltså:
Från detta kan man till slut få ut .
Kraften P fås då till:
Knäckfall
Vi konstaterar nu att balkarna egentligen är upphängda på olika sätt. Detta gör att deras knäckfallsformler blir annorlunda. Dessa finner ni i er formelsamling, eller också här. Vi har nämligen att den vänstra balken följer Eulers knäckfall 2, och dess ekvation är alltså . Den högra biten följer Eulers knäckfall 3, vilket ger . Eftersom är lägsta gränsen är den dimensionerande, och det är därför bara den vi behöver räkna på.
Vi får då att:
Största tillåtna temperatur skillnaden innan vänstra biten knäcks är alltså
Ni fick även där en snabb titt på Eulers knäckfall. För att använda de behövdes det man enbart se liknelsen mellan bilderna och uppgiften, så var observanta över vilken sorts upphängning som balkarna i uppgifterna är upplagda med.
