Hittills har vi beräknat integraler vars termer har en enkel primitiv funktion. Men hur gör man för att integrera sammansatta, eller andra konstiga, funktioner?
Det finns 2 vanliga tekniker för att lösa svåra integraler!
Partialintegration
Partialintegration är en lösningsmetod som bygger på att man ser integranden som en produkt av två funktioner! Tekniken går ut på att integrera endast den ena faktorn, och sedan derivera den andra!
Vilken faktor man integrerar och vilken man deriverar är valfritt, men oftast väljer man att derivera den svårare faktorn!
Formeln för partialintegration:
Uppgift 1
Beräkna integralen
Lösning
Termen finns inte med i vår integraltabell, vi väljer därför att se det som produkten av två funktioner istället!
Vi har isåfall:
Enligt partialintegrationens formeln ska vi nu hitta primitiven till och derivera !
Vi får då:
Nu återstår bara att applicera formeln!
Integralen till är alltså !
Variabelsubstitution
När man utför en variabelsubstitution använder man sig av den där -delen som finns i slutet av varje integral!
Principen går ut på att:
Hitta den svåra delen i integralen (den som vi vill ersätta)
Definiera en ny variabel (vi kan kalla den ) och sätt integralens svåra del
Hitta i samband med (detta kan göras genom att hitta t:s derivata)
Ersätt alla svåra termer i integralen med och ersätt med dess -samband!
Lös integralen som vanligt!
Den enklaste sättet att förstå detta är som vanligt med ett exempel.
Uppgift 2
Vi börjar med ett exempel utan intervall. Beräkna integralen
Lösning
Vi ser att den svåra delen är , vi vill kunna ersätta det med en enda variabel !
Vi sätter alltså:
Vi ska nu hitta i samband med .
Vi börjar med att derivera :
, vilket också kan skrivas
Utifrån detta får vi:
Nu ska vi ersätta alla i vår integral med , och alla med ! Vi får:
kan flyttas framför själva integralen eftersom det är en konstant:
Vi löser integralen:
Slutligen sätter vi tillbaka på :s plats så att integralen fortfarande är med avseende på :
Om man har en integral med ett intervall fungerar det på precis samma sätt förutom att man i slutet inte sätter tillbaka utan istället räknar ut de nya intervallen med avseende på !
Uppgift 3
Beräkna integralen
Lösning
Vi ersätter först den svåra delen med . Här gäller det att vara lite klurig och se att är derivatan till .
Vi sätter därför
Vi ska nu hitta i samband med :
Nu ser vi alltså att vi enkelt kan ersätta integralen med detta (vi kallar de nya okända intervallen och ):
Slutligen måste vi också hitta de här nya intervallen och ! Detta gör vi genom att använda och ersätta med integralens tidigare intervall ( och ).
Vi får då:
Nu har vi alltså vår integral klar! Så återstår bara att räkna!