Vad är en integral?
Att integrera kan översättas till: "att summera ett oändligt antal små bitar". Låt säga att vi vill räkna ut arean S i nedanstående bild.
För att kunna göra det måste vi dela upp området i ett oändligt antal små rektanglar (på bilden nedan har vi begränsat antalet till 10):
Den här typen av approximation kallas för Riemannsumma.
En integral betecknas med notationen: (läses "integralen av f från a till b").
Den där sista delen av integralen () är inte så viktig just nu, men glöm inte bort att skriva den, för snart blir den nämligen mycket viktig!
Primitiver
Att hitta primitiven till en funktion kallas ibland för "anti-derivering": man kan säga att man "deriverar baklänges" genom att applicera deriveringsreglerna åt andra hållet.
Primitiven till en funktion betecknas . Anledningen till att det kallas för antiderivering är för att derivatan till är !
Genom att komma ihåg formlerna för primitiver kan man enkelt räkna ut integraler på ett snabbt sätt! Nedan finns en tabell med de vanligaste primitiverna. Se till att lära dig dem utantill!
| Funktion | Primitiv |
|---|---|
| (konstant) | |
| |x| | |
OBS! Tänk på att även har en primitiv, nämligen (eftersom en konstant blir när man deriverar den)! Detta medför att man egentligen borde skriva efter varje primitiv i tabellen ovan!
Uppgift 1
Beräkna integralen
Lösning
Vi delar upp integralen och får 3 olika termer som vi måste hitta primitiverna till: , och .
Primitiven till är
Primitiven till är
Primitiven till är
Nu är det bara att summera dessa så har vi beräknat vår integral! Glöm inte att skriva i slutet!
Intervall
Beräkningen vi gjorde nyss är för att hitta integralens funktion på hela dess definitionsmängd. När man beräknar areor och liknande vill man dock oftast begränsa sig till ett särskilt intervall, t.ex: .
Om vi bara vill ha integralen för mellan och skriver man den såhär:
Efter att ha beräknat integralen ersätter man sedan med intervallens värden och subtraherar den första från den andra. Den generella formeln är alltså:
Följ exemplet nedan så märker du att det är väldigt enkelt!
Uppgift 2
Beräkna integralen på intervallet
Lösning
Vi räknade redan ut integralen i vårt förra exempel och fick fram . Nu återstår alltså bara att beräkna det under vårt intervall!
Om :
Om :
Nu fortsätter vi integralberäkningen genom att följa formeln!