Vad är differentiella ekvationer?
En differentialekvation beskriver sambandet mellan en funktion och dess derivator. Differentialekvationer används ofta inom formgivningen av broar, flygplan och bilar, men också inom vissa ekonomiska modeller!
Första ordningen
Differentialekvationer sägs vara av första ordningen när de endast innehåller den första derivatan .
En första ordningens differentialekvation ser vanligtvis ut såhär:
Den allmänna lösningen till ekvationen får man då genom formeln:
...där C är en konstant.
Konstanten C kan sedan räknas ut med hjälp av ett begynnelsevillkor som beskriver vilket värde ekvationen antar vid en särskild punkt.
När man hittat värdet på C kan man sedan sätta in det i den allmänna lösningen för att få ut den partikulära lösningen.
Uppgift 1
Beräkna lösningen till med hjälp av villkoret
Lösning
Vi dividerar alla faktorer med 2 för att få ekvationen under samma form som i definitionen ovan:
För att få ut den allmänna lösningen är det bara att applicera formeln, vilket ger:
Nu vill vi få ut partikulärlösningen vilket vi kan få genom att använda oss av begynnelsevillkoret .
Begynnelsevillkoret skulle kunna ersättas med meningen "då x är lika med 0, ska y vara lika med 5". Vi ersätter därför och i vår allmänna lösning och förenklar ekvationen:
Eftersom får vi alltså .
Vår partikulärlösning är alltså:
Andra ordningen
Som ni säkert kunde gissa sägs differentialekvationer vara av andra ordningen när de innehåller andraderivatan (derivatan av derivatan) .
En andraordningens differentialekvation ser vanligtvis ut såhär:
Det här löser man sedan som en vanlig andragradsekvation. Beroende på värdet av rötterna och applicerar man sedan en av följande formler:
Om och är reella och olika:
Om och är reella och lika:
Om och är komplexa:
(..där rötterna är av formen )
Uppgift 2
Beräkna lösningen till med hjälp av villkoren och
Lösning
För att hitta och löser vi ekvationen på samma sätt som en andragradsekvation!
Differentialekvationen ovan förvandlas alltså till andragradsekvationen:
Med hjälp av PQ-formeln får vi två lösningar till ekvationen:
och är reella och olika! Nu sätter vi bara in de här värdena i formeln för att få ut den allmänna lösningen:
Våra begynnelsevillkor kan ersättas till meningarna:
"Då x är lika med 0, är y lika med 3"
"Då x är lika med 0, är y' lika med 2"
Vi börjar med det första villkoret och ersätter variablerna:
Vi gör nu samma sak för det andra villkoret. För att kunna räkna ut det måste vi dock först derivera den allmänna lösningen!
Slutligen har vi ett linjärt ekvationssystem som måste lösas!
Nu kan vi äntligen ersätta C och D i vår allmänna lösning, och får på så sätt ut partikulärlösningen:
Inhomogena ekvationer
Hittills har alla våra exempel varit homogena ekvationer. En inhomogen ekvation är en differentialekvation där högerledet inte är utan en annan funktion, t.ex.
Den allmänna lösningen till ekvationen får man då genom formeln:
(där är en homogen lösning och är en partikulärlösning till ekvationen)
Uppgift 3
Beräkna den allmänna lösningen till
Lösning
Vi börjar med att räkna ut den homogena lösningen till ekvationen. Detta gör vi genom att ersätta alla :n i ekvationen med , och sedan ersätta högerledet med :
Genom formeln för homogena förstagradsekvationer får vi att den homogena lösningen till denna är:
Vi måste nu hitta partikulärlösningen , vi skriver då:
Eftersom är ett förstagradspolynom, ska vi nu anta att också är ett förstagradspolynom! Vi skriver det därför under den här formen:
Vi får då också att:
Vi går tillbaka till vår inhomogena ekvation och ersätter och :
Vi löser nu det här som ett ekvationssystem (med -termerna i en ekvation, och resten i en annan):
Nu ersätter vi bara och i med dess värden för att få ut partikulärlösningen!
Nu har vi alltså både räknat ut den homogena lösningen och den partikulära lösningen! Alltså är den allmänna lösningen:
Uppgift 4
Som övning inför tentan kan vi också göra det här lite svårare exemplet:
Beräkna den allmänna lösningen till .
Lösning
Vi börjar med den homogena lösningen, som vi räknar ut genom att förvandla ekvationen till en andragradsekvation och sätta högerledet till :
Med hjälp av PQ-formeln får vi två lösningar:
och är alltså komplexa! Vi vet då att vi kan få ut och genom . Alltså är och . Vi sätter nu in dem i formeln för att få ut den homogena lösningen:
Nu måste vi hitta partikulärlösningen, så vi skriver ekvationen på nytt:
Som ni ser har vi bara en enda term i högerledet – , som är ett nolltegradspolynom multiplicerat med . Eftersom och hänger ihop, kan vi anta att kan skrivas under formen:
Vi måste nu derivera det här 2 gånger, så att vi även kan ersätta med något vettigt. För att göra det använder vi kedjeregeln för båda termerna:
Vi börjar med att räkna ut derivatan:
Och sedan andraderivatan:
Vi måste nu räkna ut och , så vi går tillbaka till vår initiala ekvation och ersätter med och med :
Nu kan vi ersätta och för att få ut vår slutgiltiga partikulärlösning!
Vi har nu den homogena lösningen och partikulärlösningen , allså är den allmänna lösningen: