Sannolikhet & Statistik

Back to All Courses

Lesson 3

Diskreta sannolikhetsfördelningar

by Christian Abdelmassih

Alla sannolikhetsbaserade situationer är inte ideella tärningskast där alla utfall har samma sannolikhet att uppstå. Av denna anledning är det viktigt att prata om vilken typ av sannolikhetsfördelning ett specifikt problem tillhör. En del sannolikhetsfördelningar förekommer oftare i vardagen än andra medan andra för det mer sällan. Dessa fördelningar har olika typer av fria parametrar som gör att fördelningarna kan appliceras i olika sammanhang. Av denna anledning är det viktigt att känna till vilka fördelningar som finns och vad deras parametrar står för att kunna veta vilken fördelning som passar problemet bäst.

Diskreta fördelningar


Tvåpunktsfördelning


Sannolikheten är fördelad i två utfall. Om ena utfallet har sannolikheten så måste det andra utfallet ha sannolikheten .


Ett klassiskt exempel på en tvåpunktsfördelning är att singla slant under ideella förhållanden.



Likformig fördelning


I den diskreta likformiga sannolikhetsfördelningen är sannolikheten inte beroende av utfallsvärdet. Detta gör sannolikheten konstant och densamma för alla utfallsvärden. Den likformiga fördelningen finns även i en kontinuerlig form.


Sannolikhetsfunktionen ges av:





Exercise

Om vi förutsätter ideella förhållanden för ett tärningskast med en vanlig tärning. Låt värdet på tärningen vara den stokastiska variabeln . Vad är sannolikheten att vi får tärningen visar ?

Solution

Vi vet att värdet på en tärning under ideella förhållanden tillhör den likformiga sannolikhetsfördelningen. Detta gör att dess sannolikhetsfunktion är som ger oavsett värdet på utfallet



För-första-gången fördelning:


ffg-fördelningen används när man vill utföra stickprov där sannolikheten att det gynnsamma utfallet inträffar per stickprov är och antalet stickprov som ska utföras till och med att det första gynnsamma fallet inträffar är .


Sannolikhetsfunktionen ges av:





antal gånger stickprovet ska dras tills tom det gynnsama utfallet inträffat.

sannolikhet att gynnsamt utfall inträffar per stickprov.


Inbyggda funktioner i grafräknaren: och .


Exercise

Ett företag äger flera fabriker som producerar bilar. I sannolikheten att en bil har någon form av defekt är . Vad är sannolikheten att bil nummer av dagens produktion är den första defekta bilen den dagen?

Solution

Lösning genom beräkning


Vi vet att bil nummer är den första bilen i dagsproduktionen som är defekt som ger och sannolikheten för att varje bil är defekt är . Detta ger:





Lösning med grafräknare





Binomialfördelning:


Binomialfördelningen används vid oberoende upprepningar där antalet stickprov och är antalet gynnsamma fall av dessa stickprov och sannolikheten att det gynnsamma utfallet inträffar är en exakt given sannolikhet per stickprov. Vidare ska resultatet från stickprovet enbart finnas i två tillstånd, t.ex. defekt eller felfri.


Sannolikhetsfunktionen ges av:




= antalet försök

= antalet gynnsamma utfall vid oberoende upprepning

= sannolikheten för gynnsamt utfall per försök.


Inbyggda funktioner i grafräknaren: och .


Exercise

Ett antal produkter paketeras i -pack i en fabrik där sannolikheten att en produkt är defekt motsvarar , vad är sannolikheten att ett paket innehåller två defekta enheter?

Solution

Lösning genom beräkning


fel ger



Lösning med miniräknare


beräknas med grafräknare genom





Poissonfördelning:


Poissonfördelningen används då en form av genomsnittlig upprepningshastighet av en händelse som inträffar där är hur många gånger den händelsen inträffar.


Sannolikhetsfunktionen ges av:





= genomsnittlig upprepningshastighet av en händelse.

= antal gånger händelsen inträffar under en och samma situation.


Inbyggda funktioner i grafräknaren: och .


Exercise

En skribent gör i genomsnitt fel per sida. Vad är sannolikheten att skribenten skriver en hel sida utan fel?

Solution

Lösning genom beräkning


fel per sida ger:



Lösning med grafräknare