Hypotesförkastning & Chi2-test

Nollhypotes

Säg att vi har två stokastiska variabler, $X$ och $Y$ och vill undersöka om det finns ett samband mellan dessa. Då brukar nollhypotesen ${H}_{0}$ användas som är formulerad för det rakt motsatta fallet, att det inte finns något samband alls! Målet vid sambandsanalysen blir därefter att kunna förkasta nollhypotesen ${H}_{0}$ med en viss procentuell säkerhet $\alpha$ och därmed bevisa att ett sådant samband är troligt.

Olika typer av signifikanstest

De vanligaste ${\chi}^{2}$ -testen förekommer i två olika slag:

1. Fördelningstest

2. Homogenitetstest

Skillnaden mellan dessa test är främst i vilket syfte de används och att de har olika testvariabler $Q$ som jämförs med ${\chi}^{2}$ -fördelningen. Teorin bakom jämförelsen ligger i att $Q$ approximeras till ett värde ${Q}_{obs}$ på ${\chi}^{2}$ -fördelningen och därför inte får understiga det värdet om en förkastning av nollhypotesen ${H}_{0}$ är önskvärt.

Fördelningstest

Detta test kallas informellt för ${\chi}^{2}$ -testet och används för att bekräfta om ett stickprov tillhör den sannolikhetsfördelning som är given där nollhypotesen ${H}_{0}$ är formulerad så att stickprovet tillhör den givna fördelningen, det vill säga, att resultatet är oförändrat.

För att undersöka detta har vi en testvariabel $Q$ som har följande utseende:

där ${x}_{i}$ är ett värde i observationsserien, ${p}_{i}$ är den respektive förkomstsannolikheten för just det värdet, $r$ är längden på observationsserien och $n$ är summan för observationsserien, det vill säga: $n=\sum{{ x }_{ i }}$.

Innan ett fördelningstest ens kan inledas måste termen ${np}_{i}$ vara större än $5$ för alla värden i observationsserien, alltså

När detta är satisfierat kan ${\chi}^{2}$ -testet påbörjas, om inte kan det vara önskvärt att slå ihop värden så att observationsserien krymps.

När $Q$ får ett värde är det värdet bundet till observationen, därför används beteckningen ${Q}_{obs}$ för att påpeka detta och för att veta om den uppställda nollhypotesen ${H}_{0}$ kan förkastas måste följande förhållande satisfiera

där $\alpha$ är den angivna signifikasnivån och $r$ är antalet värden i observationsserien. Värdet på ${ \chi }_{ \alpha }^{ 2 }\left( r-1 \right)$ kan läsas av i tabellen för ${\chi}^{2}$ -fördelningen. Om förhållandet satisfieras kallas det: nollhypotesen ${H}_{0}$ förkastas på nivån $\alpha$.

Exercise

Fyra elektronikbolag konkurrerar om kunder. De har en produkt var inom branschen. Den nuvarande kundfördelningen mellan företagen $A,B,C$ och $D$ ges av:

$$\text{företag A} \, \, 12 \% \quad \text{företag B} \, \, 10 \% \quad \text{företag C} \, \, 38 \% \quad \text{företag D} \, \, 40 \%$$

Företaget $A$ har förändrat sin produkt och har genom en marknadsundersökning fått reda på att $36$ personer föredrog deras produkt i jämförelse med $28$ , $77$ , $72$ personerna som föredrog produkter från $B, C$ och $D$ respektive.

Utred om produktförändringen kommer medföra en förändring av kunderna. Använd förkastningsnivån $5 \%$ .

Solution

Nollhypotesen ${H}_{0}$ i denna uppgift kan formuleras som att produktförändringen inte kommer medföra någon skillnad i marknadsandelarna. Vi utreder därför om vi kan förkasta hypotesen, det vill säga, bevisa att det faktiskt har skett en förändring!

Vi använder oss av ett ${\chi}^{2}$ -fördelningstest för att de om marknadsundersökningen speglar den givna fördelningen. Vår nollhypotes blir därmed att och utreder om villkoret $n{p}_{j}>5$ satisfieras, där ${p}_{j}$ är procentsatserna för respektive företag och $n$ är populationen marknadsundersökningen verkade över, det vill säga $213$ personer.

Vi får:

$$n{p}_{\text{företag A}}=25.56 \quad n{p}_{\text{företag B}}=21.3$$

$$n{p}_{\text{företag C}}=80.94 \quad n{p}_{\text{företag D}}=85,2$$

Följaktligen satisfieras villkoret och vi kan fortsätta med hypotesprövningen. Vi beräknar testvariabeln $Q$ till:

$${ Q }_{ obs }=\frac { { \left( 36-25.56 \right) }^{ 2 } }{ 25.56 } +\frac { { \left( 28-21.3 \right) }^{ 2 } }{ 21.3 } +\frac { { \left( 77-80.94 \right) }^{ 2 } }{ 80.94 } +\frac { { \left( 72-85.2 \right) }^{ 2 } }{ 85.2 }$$

$${Q}_{obs}\approx 8.61$$

Vi beräknar nu ${\chi}^{2}_{\alpha}(f)$ genom att använda $f=3$ frihetsgrader och $\alpha=0.05$ . Detta ger oss att ${\chi}^{2}_{0.05}(3)=7.81$ (Se KTHs formelblad).

Avslutningsvis ser vi att ${Q}_{obs} > {\chi}^{2}_{0.05}(3)$ vilket ger att vi kan förkasta ${H}_{0}$ på nivån $5 \%$ . Detta innebär att den dena produkten från företag $A$ troligtvis kommer medföra en förändring av fördelningen av kunderna.

Homogenitetstest

Ett homogenitetstest används då flera observationsserier är givna och man vill se om de tillhör en och samma sannolikhetsfördelning. Den har därför en annan testvariabel $Q$ än det vanliga ${\chi}^{2}$ -testet:

${x}_{ij}$ är återigen våra observationvärden, men eftersom vi nu har flera observationsserier behöver vi även använda $j$ för att skilja på serierna från grupperna. ${p}_{j}$ är nu därför sannolikheten för värdets grupp med avseende på samtliga grupper där ${n}_{i}$ är summan av värdet serie. $r$ är längden på serien och $s$ är längden på grupperna. (se gärna tabellen nedan för förtydligande).

Om följande förhållande satisfieras förakastar fördelningstestet nollhypotesen ${H}_{0}$ på nivån $\alpha$

När man beräknar ${Q}^{*}_{obs}$ på homogenitetstest är oerhört lätt att göra fel och därför är det superviktigt att veta att den kan beräknas på de flesta TI-minräknare! Mata bara in grupperna och serierna (utan summorna) genom att klicka på $\text{MATRIX}$ och sedan kolumnen $\text{EDIT}$ . När det är gjort klickar du på $\text{STATS}$ och sedan kolumnen $\text{TEST}$ och väljer ${\chi}^{2}\text{-Test}$ . När det är gjort och du valt rätt matris och klickat på beräkna är det den översta siffran som motsvarar ${Q}^{*}_{obs}$ . Om du fastnat någonstans på vägen kan du kolla denna guide.

Tänk dock på att du fortfarande måste presentera dina beräkningar och att ${\chi}^{2}$ -test funktionen på miniräknaren är ett bra sätt att kontrollera ditt svar.

Sist men inte minst är nollhypotesen ${H}_{0}$ i ett homogenitetstest formulerad så att den utgår från att observationsserierna kommer från samma sannolikhetsfördelning.

Exercise

Vi har att

• Antalet bilar som passerar en onsdag vid tre olika klockslag är $12,22$ och $9$

• Antalet bilar som passerar en lördag vid samma tre olika klockslag är$32, 14$ och $6$.

Avgör huruvida det är samma proportioner av bilar de olika dagarna med en felrisk på $1\%$ .

Solution

Vi sammanfattar först informationen i en tabell så det blir mer strukturerat. Vi har tre klockslag och två dagar. Antalet bilar per dag och tid är:

	Tid 1	Tid 2	Tid 3
Onsdag	12	22	9
Lördag	32	14	6

Då uppgiften efterfrågar att bekräfta om observationsserierna tillhör samma sannolikhetsfördelning vet vi att det är ett homogenitetstest som ska genomföras med nollhypotesen ${H}_{0}:$ att de tillhör samma fördelning. För att undersöka med testvariabeln $Q$

Vi har två olika observationsserier, en serie för onsdag och en för lördag och tre olika grupperingar som representerar de olika klockslagen. Detta ger oss att seriesumman

${n}_{i}$ är antalet bilar som passerat per dag. För onsdag blir detta ${n}_{1}=12+22+9=43$ och för lördag ${n}_{2}=32+14+6=52$ . Det totala antalet bilar blir därmed $43+52=95$ bilar.

Vi tar nu fram gruppsummorna som är antalet bilar som passerat vid samma klockslag. Dessa är $12+32=44$, $22+14=36$, $9+6=15$ för varje respektive klockslag. Detta kan därför sammanfattas till en enda tabell:

	Tid 1	Tid 2	Tid 3	Summa - dag
Onsdag	12	22	9	43
Lördag	32	14	6	52
Summa  - tid	44	36	15	Totalt antal bilar: 95

där sannolikheten för varje grupp, i detta fall klockslag är

$${p}_{1}=\frac { 44 }{ 95 }, \, {p}_{2}=\frac { 36 }{ 95 } \text{ och } {p}_{3}=\frac { 15 }{ 95 }$$

Vi använder oss nu av formeln $Q=\sum _{ i=1 }^{ s }{ \sum _{ j=1 }^{ r }{ \frac { { \left( { x }_{ ij }-{ n }_{ i }{ p }_{ j } \right) }^{ 2 } }{ { n }_{ i }{ p }_{ j } } } }$ för att skatta $Q$ och får att ${Q}_{obs}$ ges av:

$${ Q }_{ obs }=\frac { {(12-43\frac { 44 }{ 95 })}^{2} }{ 43\frac { 44 }{ 95 } } +\frac { {(22-43\frac { 36 }{ 95 })}^{2} }{ 43\frac { 36 }{ 95 } } +\frac { {(9-43\frac { 15 }{ 95 })}^{2} }{ 43\frac { 15 }{ 95 } } +\frac { {(32-52\frac { 44 }{ 95 })}^{2} }{ 52\frac { 44 }{ 95 } } +\frac { {(14-52\frac { 36 }{ 95 })}^{2} }{ 52\frac { 36 }{ 95 } } +\frac { {(6-52\frac { 15 }{ 95 })}^{2} }{ 52\frac { 15 }{ 95 } }$$

$${Q}_{obs}=10.71$$

Vi läser nu av värdet för ${ \chi }_{ 0.01 }^{ 2 }\left( \left( r-1 \right) \left( s-1 \right) \right) ={ \chi }_{ 0.01 }^{ 2 }\left( 2 \right)$ i en tabell och får ${ \chi }_{ 0.01 }^{ 2 }\left( 2 \right) =9.21$

Avslutligen ser vi att $10.71={Q}_{obs}>{ \chi }_{ 0.01 }^{ 2 }\left( 2 \right) =9.21$ vilket innebär att vi kan förkasta ${H}_{0}$ på nivån $0.01$ då observationsserierna kommer från olika sannolikhetsfördelning.