Brott kan ofta ske på grund av av sprickor redan bildats i material. Hur dessa sprickor växer beror på deras form och materialets övriga imperfektioner imperfektioner. Vi tittar nu på en uppgift som tar upp just detta:
Exercise
En stor bit plåt är belastad med ett cykliskt spänningstillstånd, som kan sammanfattas med spänningarna , och . Givet har vi att MPa. En spricka finns i plåten, och dess storlek är mm. Om vi förutsätter att sprickan bildades och sen tillväxte vinkelrätt mot största huvudspänningen, hur stor blir då sprickan efter 1000 cykler?
Vi kan anta att spricktillväxten följer Paris lag, med vilken vi kan beräkna hur en spricka växer för varje lastcykel. Lagen ser ut såhär:
där N är antalet cykler.
Solution
Vi kan beräkna med hjälp utav den största huvudspänningen insatt i formeln . Eftersom plåten är stor kan sprickan anses vara liten i förhållande. Formfunktionerna blir då lika med 1.
Ett sätt att sedan räkna ut vår huvudspänning är att använda formeln FS [1.19] (ni hittar den också här):
Från detta får vi till slut att .
Om vi nu sätter in detta i Paris lag får vi att .
Eftersom vi vill ta reda på blir vi tvungna att använda våra kunskaper från Differentialkalkylen. Vi måste nämligen lösa denna ekvation genom att se den som en separabel differentialekvation. Vi försöker då få ihop alla a:n i vänsterledet och alla N i högerledet. Vi får då:
Högerledet kan enkelt integreras till:
</span>
Vi kan nu sätta in , , och och få:
Vilket ger oss m. Till sist konverterar vi detta till mm och finner att sprickans utvigdning efter 1000 cykler är: mm.
