Derivator - Envariabelanalys

Vad är en derivata?

Derivator används framförallt för att mäta förändringen av en funktion. Derivatan till funktionen $f(x)$ betecknas antingen $f'(x)$ (läses "f prim av x") eller $\frac { df }{ dx }$ (läses "df, dx").

På bilden nedan ser ni kurvan till funktionen $f(x)$ . Den röda linjen är tangenten till kurvan vid $x=6$ . Ur ett geometriskt perspektiv är derivatan till $f(x)$ i $x=6$ detsamma som riktningskoefficienten till kurvans tangent vid $x=6$ .

Derivatan f'(6) är alltså detsamma som riktningskoefficienten till den röda linjen.

Strikt definition

Derivatans strikta definition används sällan i uträkningar, men ibland måste man rabbla upp den på tentan för att visa att man kan den.

Derivatan till funktionen $f$ i punkten $a$ definieras som:

f'(a)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(a+h)-f(a) }{ h } }

Om gränsvärdet existerar i en punkt $a$ säger man att " $f$ är deriverbar i punkten $a$ ".
Om det existerar ett gränsvärde för varje punkt i funktionens definitionsmängd säger man att " $f$ är deriverbar".

Deriveringsformler

Här nedanför ser ni en tabell med de vanligaste funktionerna $f(x)$ och deras derivata $f'(x)$ . Dessa måste man lära sig utantill!

Funktion f(x)	Derivata f′(x)
$k$ (konstant)	$0$
$x$	$1$
$nx$	$n$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\frac 1 x$	$- \frac 1 {x^2}$
$\sqrt x$	$\frac 1 {2 \sqrt x}$
$ln(x)$	$\frac 1 x$
$e^x$	$e^x$
$sin(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$-sin(x)$
$tan(x)$	$1+tan^2x$
$arcsin(x)$	$\frac 1 {\sqrt { 1-x^2 }}$
$arccos(x)$	$- \frac 1 {\sqrt { 1-x^2 }}$
$arctan(x)$	$\frac 1 {1+x^2}$
$f(x)g(x) (produkt)$	$f'(x)g(x)+(fx)g'(x)$
$\frac {f(x)} {g(x)}$	$\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)} {g(x)^2}$

Uppgift
Räkna ut derivatan till funktionen $f(x)={x}^{3} + 5x + 7$

Lösning
Vi har tre stycken termer: $x^3$ , $5x$ och $7$ .
Vi deriverar dem en i taget:
Derivatan till ${ x }^{ 3 }$ är $3{x}^2$ (se $x^n$ i tabellen)
Derivatan till $5x$ är $5$ (se $nx$ i tabellen)
Derivatan till $7$ är noll eftersom det är en konstant! (se $k$ i tabellen)
Vi får alltså att derivatan till funktionen $f(x)$ är: $f'(x)=3{ x }^{ 2 }+5$

OBS! Om du skulle råka glömma en deriveringsformel kan du enkelt komma tillbaka till den här sidan genom att gå in på: http://derivator.se! :-)